Задача: Точка M — середина стороны BC равностороннего треугольника ABC, точка K делит сторону AB в отношении AK : KB = 1 : 2. В каком отношении делит сторону AC серединный перпендикуляр к отрезку MK?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть серединный перпендикуляр делит AC в точке N, проведём отрезки KN и MN, тогда KN = MN по св-у серединного перпендикуляра.
∠A = ∠B = ∠C = 60° и AB = BC = AC = 3a по свойствам равностороннего треугольника ⇒ BM = MC = 3a/2 и AN + NC = 3a ⇒ AN = 3a - NC.
В △AKN по теореме косинусов:
a^2 + (3a - NC)^2 - 2 * a * (3a - NC) * cos 60° = KN^2
a^2 + 9a^2 - 6a * NC + NC^2 - 3a^2 + a * NC = KN^2
7a^2 - 5a * NC + NC^2 = KN^2
В △MNC по теореме косинусов:
(3a/2)^2 + NC^2 - 2 * 3a/2 * NC * cos 60° = MN^2
(9a^2)/4 + NC^2 - 3a/2 * NC = MN^2
Поскольку KN = MN, то KN^2 = MN^2 ⇒
7a^2 - 5a * NC + NC^2 = (9a^2)/4 + NC^2 - 3a/2 * NC
7a^2 - (9a^2)/4 = 5a * NC - 3a/2 * NC | * 4
28a^2 - 9a^2 = 20a * NC - 6a * NC
19a^2 = 14a * NC
NC = 19a^2/14a
NC = 19a/14
⇒ AN = 3a - 19a/14 = 23a/14
⇒ NC : AN = 19a/14 : 23a/14 = 19/23.
Ответ: 19/23.
Задача решена.
