В природе часто встречаются, так называемые, затухающие колебания. Они представляют собой такие колебания, амплитуда которых стремится к нулю. Функциональная зависимость подобного вида представлена на следующем графике. Однако "точки", формирующие эту зависимость, так сказать, не упорядочены. Следовательно, возникает необходимость аппроксимации подобного вида зависимостей, например, методом наименьших квадратов (МНК).
Описать затухающие колебания в самом простом случае можно следующей формулой (выделено голубым фоном), состоящей из двух множителей, первый из которых характеризует экспоненциальную зависимость амплитуды от Х (например, времени), а второй - характер колебаний осциллятора (колеблющегося тела).
Для того, чтобы воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК), необходимо привести заданную формулу к линейному виду. Для этого нужно прологарифмировать обе части исходного уравнения.
Для простоты дальнейших расчетов перенесем все слагаемые с неизвестными константами в левую часть уравнения, а слагаемые без них - в правую.
Напомним, что y и x нам заданы, поэтому искомыми неизвестными являются только константы a и b.
Далее используем МНК как обычно:
- определяем сумму квадратов отклонений
- находим её частные производные по искомым константам
- приравниваем частные производные к нулю с целью минимизации суммы квадратов отклонений
- приводим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) к наглядному виду
- решаем СЛАУ любым доступным методом, например, Гаусса или Крамера
Стоит обратить внимание: так как а не равен нулю, то можно сократить первое уравнение на 1/а; также при поиске решения необходимо следить за тем, чтобы y/sin(x) не был меньше или равен нулю, равно как и sin(x) не был равен нулю.
Если некоторые из имеющихся "точек" создают подобные трудности, то, возможно, стоит их исключить и решать задачу относительно остальных имеющихся "точек".
Как только неизвестные коэффициенты уравнения будут найдены, то построение кривой, аппроксимирующей изначальные "точки", с помощью полученного уравнения не должно вызвать сложностей.
В нашем случае получилась следующая кривулька.
В завершение
Таким образом, мы рассмотрели возможность применения метода наименьших квадратов (МНК) для описания "разбросанных точек" функцией затухающих колебаний. Однако в рассматриваемом упрощенном случае мы не принимали во внимание частоту колебаний и их начальную фазу, которые также могут быть неизвестными величинами. Тем не менее, решение относительно них может быть куда более трудным и красивым.
- Спасибо Вам за уделённое время!
Подписывайтесь на канал. Впереди много интересного!
А также смотрите далее: