Как описать (аппроксимировать) синусоидальную зависимость методом наименьших квадратов (МНК)

Одними из самых важных и распространенных в окружающем мире зависимостей являются гармонические колебания. Гармонические колебания представляют собой изменение одной величины от другой, например, от времени по синусоидальному или косинусоидальному законам. Они характеризуются амплитудой, периодом (частотой) и фазой колебаний.

Часто встает задача описания подобных зависимостей, их аппроксимации, "сглаживания". Для работы со сложными зависимостями, характеризующимися несколькими гармониками, прибегают к методам Фурье-анализа. Однако сейчас не будем углубляться в дебри математического анализа и рассмотрим наиболее элементарный случай синусоидальной зависимости, а точнее принципы её описания методом наименьших квадратов (МНК).

Постановка задачи

Дан набор "экспериментальных точек", которые необходимо описать заданной функцией y=a*sin(x). На рисунке приведен набор "точек", которые требуется описать.

Зависимость Y - X

Как видно из заданного уравнения, единственным неизвестным коэффициентом является a, которое и требуется определить.

Поиск решения

Воспользуемся Методом наименьших квадратов (МНК) и определим частную производную сумму квадратов отклонений по неизвестному коэффициенту, которую приравняем к нулю с целью её минимизации.

Отклонение - это разница между значением по оси ординат "экспериментальной точки" и равноценной (при одинаковых значениях по оси абсцисс) точки на описываемой зависимости.

Минимизация суммы квадратов отклонений

Дальнейшие вычисления проводим "обычной математикой":

• приводим уравнение к наглядному виду
• находим суммы (значения для их вычисления нам известны)
• вычисляем искомый коэффициент

Вычисление искомого коэффициента

Получив коэффициент, подставляем его в исходное уравнение и с помощью этого уравнения строим график, который описывает наши изначальные "экспериментальные точки".

Построение графика, описывающего заданные точки

Заключение

Таким образом, мы описали синусоидальную зависимость с помощью метода наименьших квадратов на самом элементарном примере. Подобным способом можно описывать и более сложные зависимости. При этом требуется задавать и не менее сложные и громоздкие функции, минимизация МНК которых достаточно сложна и трудоёмка. Но, тем не менее, очень интересна.

• Спасибо Вам за уделённое время!
  Рекомендуем также к просмотру: