Задача: В четырёхугольнике ABCD углы B и C равны 120°, AB = 2, BC = 5, CD = 10. Найдите AD.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём отрезок BD. В △BCD по теореме косинусов BD = √(5^2 + 10^2 - 2 * 5 * 10 * cos 120°) = √(25 + 100 + 50) = √175 = 5√7. По выражению косинусов углов треугольника через его стороны: ∠CBD = (5^2 + (5√7)^2 - 10^2)/(2 * 5 * 5√7) = 100/50√7 = 2√7/7. sin∠CBD = √(1 - (2√7/7)^2) = √(21/49)= √21/7.
cos∠ABD = cos(120° - ∠CBD) = cos 120° * cos∠CBD + sin120° * sin∠CBD = -1/2 * 2√7/7 + √3/2 * √21/7 = -√7/7 + 3√7/14 = √7/14.
По теореме косинусов x = √(2^2 + (5√7)^2 - 2 * 2 * 5√7 * √7/14) = √(4 + 175 - 10) = √169 = 13.
Ответ: 13.
Задача решена.
