Задача: Две стороны треугольника равны 2 и 4, а его медиана, проведённая к третьей стороне, равна √(5+2√3). Найдите площадь этого треугольника. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть третья сторона равна a и угол, лежащий напротив неё, равен α. Через формулу медианы выразим искомую сторону: (√(2*2^2 + 2*4^2 - a^2))/2 = √(5+2√3) | возведём обе части в квадрат (8+32 - a^2)/4 = 5+2√3 40 - a^2 = 20 + 8√3 a^2 = 20 - 8√3 a = √(20 - 8√3) По выражению косинусов углов треугольника через его стороны: cos α = (2^2 + 4^2 - (√(20 - 8√3))^2)/(2*2*4) cos α = (4 + 16 - 20 + 8√3)/16 cos α = 8√3/16 cos α = √3/2 По таблице значений cos 30° = √3/2 ⇒ α = 30° S△ = 1/2 * 2 * 4 * sin 30° = 2 Ответ: 2. Задача решена.
Задача: Две стороны треугольника равны 2 и 4, а его медиана, проведённая к третьей стороне, равна √(5+2√3). Найдите площадь этого треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть третья сторона равна a и угол, лежащий напротив неё, равен α. Через формулу медианы выразим искомую сторону:
(√(2*2^2 + 2*4^2 - a^2))/2 = √(5+2√3) | возведём обе части в квадрат
(8+32 - a^2)/4 = 5+2√3
40 - a^2 = 20 + 8√3
a^2 = 20 - 8√3
a = √(20 - 8√3)
По выражению косинусов углов треугольника через его стороны:
cos α = (2^2 + 4^2 - (√(20 - 8√3))^2)/(2*2*4)
cos α = (4 + 16 - 20 + 8√3)/16
cos α = 8√3/16
cos α = √3/2
По таблице значений cos 30° = √3/2 ⇒ α = 30°
S△ = 1/2 * 2 * 4 * sin 30° = 2
Ответ: 2.
Задача решена.