Задача: Катеты прямоугольного треугольника видны из некоторой точки под углами 60°. Расстояния от этой точки до концов гипотенузы треугольника равны 5 и 6. Найдите расстояние x от данной точки до третьей вершины треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
В △BMC: по теореме косинусов CB = √(5^2 + x^2 - 2 * 5 * x * cos 60°) = √(25 + x^2 - 5x)
В △BMA: по теореме косинусов AB = √(6^2 + x^2 - 2 * 6 * x * cos 60°) = √(36 + x^2 - 6x)
В △ABC: по теореме Пифагора AC = √(√(36 + x^2 - 6x)^2 + √(25 + x^2 - 5x)^2) = √(36 + x^2 - 6x + 25 + x^2 - 5x) = √(2x^2 - 11x + 61)
Рассмотрим △AMC: по теореме косинусов AC = √(5^2 + 6^2 - 2 * 5 * 6 * cos 120°) = √(25 + 36 + 30) = √91.
Итак, AC = √(2x^2 - 11x + 61) и AC = √91, приравняем правые части и решим уравнение:
√(2x^2 - 11x + 61) = √91 | возведём обе части в квадрат
2x^2 - 11x + 61 = 91
2x^2 - 11x - 30 = 0
2x^2 + 4x - 15x - 30 = 0
2x(x+2) - 15(x+2) = 0
(x+2)(2x-15) = 0
x = -2; x = 7,5
Поскольку x - отрезок, то x>0 ⇒ x = 7,5.
Ответ: 7,5.
Задача решена.
