Задача: Геометрически докажите, что tg15° = 2 – √3.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Построим прямоугольный треугольник с острым углом 30°, на продолжении стороны CA отметим точку F, такую что FA = AB. Тогда, △FAM - р/б по определению ⇒ ∠AFB = ∠ABF. По св-у внешнего угла, ∠BAC = ∠AFB + ∠ABF ⇒ ∠AFB = 15° (см. рисунок).
Рассмотрим △ACB: BC = AB * sin 30° = AB/2; AC = AB * cos 30° = AB√3/2. Рассмотрим △FCB: tg(∠BFC) = BC/FC = BC/(FA+AC) = (AB/2)/(AB + AB√3/2) = AB/2AB + AB√3 = 1/(2 + √3) = (2 - √3)/((2 + √3)(2 - √3)) = 2 - √3
⇒ tg(15°) = 2 - √3.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
