Серия «Решаем задачи по общей физике». Механика.
Разберем задачу 1.63 из пособия, выпущенного на Физическом факультете МГУ (Т. А. Бушина и др. Механика. Сборник задач), относящуюся к разделу «Динамика материальной точки и простейших систем».
Решение задачи из вузовского курса «Общей физики» излагается максимально подробно и полно.
1.63. Цепочку длиной l поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением а начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Длина цепочки l < πR/2.
Для начала заметим, что вопрос в задаче сформулирован не совсем корректно. Если судить по ответу в задачнике, найти просят все-таки не полное ускорение, а только его тангенциальную составляющую. Соответственно, в дальнейшем под a мы будем понимать именно тангенциальное ускорение.
Условие l < πR/2 означает, что длина цепочки меньше четверти длины большой окружности сферы, то есть в исходном положении цепочка полностью лежит на поверхности сферы, ее конец не свисает.
Рассмотрим движение маленького элемента цепочки длины dl.
Пусть m – масса цепочки. Тогда её линейная плотность будет σ=m/l.
Будем отмерять угол θ от вертикальной оси, проходящей через центр сферы. Тогда θₘ=l/R – угол, соответствующий нижнему концу цепочки в начальном положении.
На рисунке изобразим все действующие на элемент цепочки силы: силу тяжести, силу реакции опоры, силы натяжения со стороны остальных частей цепочки. Заметим, что силы трения здесь нет, так как поверхность сферы гладкая по условию.
По общей схеме далее нужно написать второй закон Ньютона в векторном виде. Однако в этой задаче нам понадобится только одна его проекция – на касательное направление. Поэтому мы её и выпишем
Тангенциальное ускорение a для каждого элемента цепочки своё, поскольку направление вектора разное для разных элементов, но модули все одинаковые в силу кинематической связи. И задача состоит в том, чтобы найти этот модуль тангенциального ускорения a.
Выразим отсюда разность сил натяжения
Если теперь устремить Δm к нулю, то получим соотношение для дифференциалов
Объединяя всё вместе, получим
Проинтегрируем это уравнение по всей цепочке
Поскольку к концам цепочки никакие силы натяжения не приложены, то оба предела интеграла в левой части равны нулю. Поэтому и сам интеграл равен нулю. Тогда имеем уравнение
или
Отсюда находим ускорение (тангенциальное), с которым будет двигаться каждый элемент цепочки
Это в точности совпадает с ответом, приведенным в задачнике. Из чего можно заключить, что авторы задачи имели в виду именно тангенциальное ускорение.
Поскольку каждый элемент цепочки движется по круговой траектории, то помимо тангенциального он имеет еще и нормальное (центростремительное) ускорение, которое растет с ростом модуля скорости. Так что полное ускорение складывается из двух компонент и будет расти со временем.
Спасибо, что нашли время дочитать статью до конца. Лайки и комментарии помогут мне создавать еще более качественные статьи.
Видео с разбором задач по физике и математике можно посмотреть на моем сайте. Также на сайте можно найти мои контакты, если возникнет желание позаниматься со мной физикой или математикой. Я активно занимаюсь репетиторством по школьной программе (физика, математика, ЕГЭ, ОГЭ) и по вузовскому курсу Общей физики.