Полное условие задачи:
На поверхность стеклянного шара радиусом 5 см нанесли черное пятнышко. Пятнышко разглядывают с диаметрально противоположной стороны шара. На каком расстоянии (в см) от ближайшей поверхности стекла окажется его видимое положение? Показатель преломления стекла 1,5.
Решение задачи:
Обозначим точкой A положение источника (черного пятнышка). Для того, чтобы найти изображение (точка B), надо найти пересечение луча CD, вышедшего из системы после преломления на сферической границе, с лучом АО (который не испытывает преломления). Для этого надо проделать следующее.
1) Проведем произвольный луч АС под малым углом α (α << 1) к прямой AOL. Так как треугольник АОС — равнобедренный, то угол между лучом АС и нормалью ОС к поверхности стекла (угол падения) также равен α. Расстояние h от точки С до прямой AOL равно:
(тангенсы и синусы малых углов заменяются углами в радианах).
2) Вычислим угол преломления (угол между преломленным лучом СD и нормалью ОС):
(n — показатель преломления).
3) Вычислим угол между преломленным лучом СD и прямой AOL. Он paвен разности между углом CAL (равным α) и углом АСВ (равным β-α):
4) Найдем искомое расстояние между точкой L и изображением В:
(при n> 2 точка В будет лежать с другой стороны от шара, т. е. изображение будет не мнимым, а действительным). При n= 3/2 получаем:
Ответ: 20 см.