Интерполяция - процесс, при котором в некотором приближении находятся значения функции в промежуточных интервалах между известными дискретными значениями функции. Аппроксимация - методика, при которой какую-то "сложную" функцию или множество точек можем заменить более "простой" функцией в некотором приближении с определённой точностью.
После произведения измерений с помощью ВЭЗ (Вертикального электрического зондирования) получаем некоторую базу - множество "точек". В этом множестве точек существует задача определения принадлежности некоторых точек одной кривой (зачастую прямой). Некоторые программные комплексы, а равно и ручные вычисления, сводятся к интерполяции множества точек методами кусочно-линейной аппроксимации в различных вариациях. При этом "принадлежность" точки к прямой определяется допустимым расстоянием до прямой (перпендикуляр к прямой из точки) или ограничением суммы отклонений.
Кусочно-линейная аппроксимация.
Например, алгоритм может быть следующим. Выбирается первая и третья точка. Строится между ними прямой отрезок. Определяется расстояние от второй точки до построенной прямой. Если расстояние в пределах установленного допуска, то строится новая прямая (продолжается прямая) между первой и четвертой точкой. Теперь меряется расстояние между второй точкой и новой прямой и третьей точкой и новой прямой. Если расстояния в пределах установленного допуска, то выбирается следующая точка для строительства следующей новой прямой. Если в процессе измерения установленного допуска условие не выполняется, тогда линия от первой до предпоследней выбранной точки становится куском линейной аппроксимации и с этой точки начинается процесс заново. Например, есть группа точек 1,2,3... Проводим прямую 1÷3 и измеряем расстояние от точки 2 до прямой 1÷3.
Учитывая, что расстояние от точки 2 до прямой 1÷3 в пределах допустимого отклонения (указано зеленым цветом), делается следующий шаг. Строится новая прямая 1÷4.
Как и в прошлый раз, измеряются расстояния от точек 2 и 3 до прямой 1÷4. Если все расстояния в пределах допустимого отклонения, происходит следующая итерация.
Строится прямая 1÷5. Измеряются расстояния от точек 2,3 и 4 до прямой 1÷5. Если хотя бы одно расстояние не в пределах допуска (в данном примере все три расстояния оранжевым цветом - не в пределах допуска), то остаётся предыдущая прямая, а последняя точка становится началом нового отсчета.
Таким образом, получили первый сегмент ломанной прямой аппроксимировав группу точек 1÷4. Процесс продолжается, и теперь проводится отрезок прямой 4÷6 и измеряется расстояние от точки 5 до прямой 4÷6. И если измеренное расстояние в пределах допуска, строится отрезок прямой 4÷7 и измеряется расстояние от точек 5 и 6 до прямой 4÷7 и так далее.
Таким образом, можно интерполировать значения аппроксимировав группу точек полученных данных.
Угловая аппроксимация.
При угловой аппроксимации используется угол, построенный двумя лучами допустимых отклонений, биссектриса которого является отрезком прямой соединяющей точки измеренных данных.
Построение в первой итерации можно пропустить. Тут этот шаг указан для понимания механизма.
На втором шаге строится отрезок между первой и третьей точкой. Это отрезок является биссектрисой угла образованного лучами из точки 1. Происходит проверка, входит ли точка 2 в развертку угла. Если входит, то продолжаем строительство прямой.
Как и в предыдущий раз строится прямая из стартовой точки 1 до следующей точки 4. Отрезок, соединяющий точки 1 и 4 является биссектрисой угла образованного лучами, выходящими из точки 1. Проверяется условие, входят ли точки, лежащие между 1 и 4 (точки 2 и 3) в развертке угла. Если все хорошо переходят к следующей итерации.
На следующем шаге строится отрезок соединяющий точки 1 и 5. Этот отрезок является биссектрисой угла образованного лучами, выходящими из точки 1. Происходит проверка, попадают ли точки, лежащие между точками 1 и 5 в развертку угла. Если хотя бы одна точка не попадает, то новая стартовая точка это предыдущая последняя. В данном примере (рисунок 8) все три точки не попали в развертку угла (залиты коричневым цветом).
Так как на отрезке прямой соединяющей точки 1 и 5 не все точки попадают в аппроксимирующий угол, то новая точка отсчета становится последняя точка, при которой выполнялись условия (точка 4). Продолжается все как с начала, определяется направление между точками 4 и 5 которое в самом принципе можно и не строить.
Следующая итерация - построение отрезка прямой от точки 4 до точки 6. Построение угла и определение попадает ли точка 5 в развертку угла, и так далее.
Результат.
В процессе анализа замеров вертикального электрического зондирования были опробованы несколько методик автоматической обработки данных. Метод угловой аппроксимации дал лучшие субъективные показатели, особенно на больших глубинах, где импеданс зависит от различного множества удельных сопротивлений находящихся выше по разрезу.
Пример визуализации полученных замеров на рисунке 10.
На рисунке 11 пример графика обработки одного из канала данных замеров.
На рисунке 12 представлен прототип расчленения разреза по удельному мнимому сопротивлению.
При обработке данных, оптимальный угол допуска находился в диапазоне от 3 градусов до 6,5 градусов. Однако, данная методика находится в состоянии предметного изучения и тестирования.
