Алиса и Марк подбрасывают монету. Вероятность выпадения орла и решки одинакова каждый бросок. Алиса делает броски до тех пор, пока не выпадет орёл, а за ним сразу решка. Марк - до тех пор, пока не выпадет два орла подряд.
Кто в среднем сделает больше бросков?
Мы спросили наших читателей в Telegram, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Вот результаты.
Правильный ответ на эту задачку: Марку в среднем понадобиться больше бросков (6), чем Алисе (4).
Этот ответ дали лишь 16% проголосовавших.
Далее мы приведем математическое решение этой задачки. Но даже если вы не дружите с математикой, пожалуйста, не пропустите полезные выводы для ваших инвестиций в конце поста!
Больше таких задачек ищите по ссылкам ниже:
Решение
Мы знаем, что Алиса и Марк бросают монеты, которые выпадают на орле или решке с одинаковой вероятностью (fair coins) – 50%.
Таким образом, в любых двух последовательных бросках комбинация Орел-Решка («ОР») Алисы выпадет с такой же вероятностью, как и Орел-Орел («ОО») Марка.
Поэтому «кажется», что в среднем они оба сделают одинаковое количество бросков.
Но это неверный ответ. В среднем Алисе понадобится всего за 4 броска. Марк сделает 6 бросков – ему в среднем понадобится больше времени. Как странно!
Когда дело доходит до вероятности, наша интуиция часто вводит нас в заблуждение. Лучший способ справиться с этим — тщательно записать различные возможные результаты и поработать над математическими расчетами. В этом случае удобным и наглядным инструментом решения могут быть Цепи Маркова.
На картинке ниже можно увидеть цепи Маркова для Алисы (1) и Марка (2).
Цепь Алисы, например, показывает, что в любой момент она может находиться в одном из четырех возможных «состояний» (от S0 до S3). В каждом состоянии Алиса подбрасывает свою монету. В зависимости от результата броска («О» - Орел или «Р» - Решка) она при необходимости переходит в другое состояние.
- Например, S0 — это состояние «Старт» - Алиса бросает свою монету. Если выпадает «О», она следует по оранжевой стрелке от S0 (с надписью «О»), которая приведет ее к S1.
- В S1 Алиса увидела «О» и надеется, что следующей выпадет «Р» (поэтому что ей нужна комбинация «ОР»).
- Если при броске S1 выпадает решка, она переходит в S2 - в свое состояние «победы» (готовности комбинации «ОР»).
- Но если вместо этого выпадает «О», она следует за оранжевой стрелкой от S1, что удерживает ее на самом событии S1.
Вот и вся цепь Маркова. Много состояний. В каждом состоянии происходит случайное событие (например, подбрасывание монеты). Основываясь на результате этого случайного события, мы следуем соответствующей стрелке, чтобы перейти к следующему состоянию. Попав в следующее состояние, повторяем и смотрим, что происходит.
Теперь разница между Алисой и Марком очевидна. Когда Марк находится на S1 и ему не везет (выпала решка), ему приходится «вернуться к нулю» (в состояние S0) и начать все сначала. У Алисы все иначе. Как только Алиса окажется в S1, ей больше никогда не придется возвращаться в S0.
Вот почему Марку требуется больше времени! Время от времени, в отличие от Алисы, Марку приходится начинать все заново.
Самое приятное в цепях Маркова то, что они позволяют нам измерять все это количественно. Если мы знаем начальное состояние, мы можем вычислить вероятность пребывания в любом состоянии в любое время по следующей формуле (3):
Эта формула является «итеративной». То есть, если мы знаем вероятность пребывания в каждом состоянии в момент «k» (бросок «k»), формула дает нам вероятность каждого состояния в следующий момент «k+1» (на броске «k+1»).
Формула требует построить переходные матрицы M. Чтобы получить эти матрицы (4 - см. картинку ниже), мы просто берем вероятность каждой «стрелки» цепи Маркова и помещаем ее в соответствующий слот матрицы.
Теперь мы можем повторять расчеты, находя вероятности каждого состояния (Pr) на каждом броске k. На картинке (5) можно увидеть расчет вероятностей для первых четырех бросков.
В любой момент, если Алиса или Марк увидели свою комбинацию, они будут в S2 или S3. Видно, что после четырёх бросков Алиса уже имеет вероятность Pr(S2) + Pr(S3) = 3/16 + 1/2 = 68.75% закончить броски. Но у Марка этот шанс составляет только 50%.
Получить среднее кол-во бросков также несложно – это просто формула математического ожидания (6) нахождения в состоянии S2.
Делая расчеты в Excel, Python, MATLAB и пр., вы увидите, что эта формула сходится на значении 4 бросков для Алисы и 6 – для Марка.
Поэтому правильный ответ – Марк.
Полезные выводы
Насколько это возможно, нам следует избегать ситуаций, когда один-единственный поворот неудачи/случая может заставить нас начать все сначала.
- В финансовом планировании эквивалентом этого является отсутствие сбережений (подушки безопасности), медицинского страхования, страхования важного имущества, плохое планирование наследства.
- В инвестировании - очень большая концентрация портфеля в одном эмитенте (низкая диверсификация), ставка только на выбор времени сделок купли/продажи, использование слишком большого кредитного плеча, непокрытых опционов, фьючерсов без достаточного обеспечения и пр.
Поступая таким образом, мы ставим себя в положение, когда краткосрочная волатильность и случайные события могут нас уничтожить, заставляя нас, по сути, начинать с нуля снова и снова, отдаляя нас от достижения наших финансовых целей.
Спасибо, что дочитали до конца! Ваши лайки очень помогут нам продолжать!
В статье используются материалы из твиттера 10-K Diver.
Читайте также:
и еще десятки полезных публикаций в нашем канале Telregram. Вот тут есть полный гид по каналу.
