Дугинов Л.А. L.duginov@mail.ru
Ключевые слова: методика гидравлического расчёта, сложные гидравлические цепи, проблемы расчёта кольцевых сетей, методы контурных расходов, метод узловых потенциалов, Mathcad-15, примеры расчёта.
Введение
Эта статья посвящена проблеме гидравлического расчёта кольцевых сетей. Впрочем, надо сразу оговориться, что для нового метода, который приводится в данной статье, никаких особых проблем нет, так как я не выделяю кольцевые сети как особо сложные для данного метода расчёта. Это обычный расчёт, причём не зависимо от количества кольцевых сетей в данной схеме. Методика расчёта также не зависит ни от количества контуров или узлов, ни от геометрии гидравлической цепи (плоская или объёмная схема). Итерационная формула совершенно одинаковая для всех вариантов и не меняется вот уже почти 50 лет, хотя в заголовке этой статьи метод расчёта заявлен как новый. Так сложилась судьба этого метода, что несмотря на неоднократные публикации в технических журналах, об этом методе знают очень мало людей, занимающихся гидравлическими расчётами.
Как решать систему нелинейных уравнений, составленную для расчёта гидравлической схемы замещения ?
Это главный вопрос, с которым неизбежно сталкиваются расчётчики гидравлических цепей. Прямых методов расчёта нет, поэтому все расчёты являются численными- итерационными. Математиками, начиная со времён Ньютона, разработаны многочисленные методы решения этой задачи. Казалось бы-бери и решай! Конечно, если вы владеете этими методами, если вы сможете сделать сложную программу для компьютера, или купить готовую за большие деньги. Поэтому, с середины 1930-х годов параллельно развивались другие методики гидравлического расчёта: инженерные (увязочные) способы решения задачи по методу В. Лобачева и М. Андрияшева, а так же аналоговые и электрические модели. Наибольший интерес автора данной статьи относится именно к электрическим моделям на постоянном токе. Как известно, падение напряжения U на линейном омическом сопротивлении R пропорционально силе тока J и равно: U=J*R. В тоже время падение давления dH на гидравлическом сопротивлении Z зависит квадрата расхода Q по формуле: dH=Z*Q^2. Простейшая электромодель для гидравлического расчета кольцевых сетей при нелинейной зависимости потерь напора от расхода была предложена Кемпом и Хазеном в 1934 г. В этой модели омическое сопротивление R изменялось вручную в соответствии с изменением силы тока J, чем достигалась квадратичная зависимость между падением напряжения U и силой тока J. Но проверка показала,что затраты времени на измерение силы тока J и регулировку сопротивления R в соответствии с ее изменением, не меньше затрат времени на выполнение расчета по методу В. Лобачева или М. Андрияшева. В связи с этим появились разные предложения применять автоматически регулируемые сопротивления. Однако, по разным причинам конструкции этих автоматов так и не смогли конкурировать с программами гидравлических расчётов на ЭВМ и были со временем полностью забыты. Немного дольше продержались электрические модели на нелинейных сопротивлениях R, но тоже были заменены на программы гидравлических расчётов на ЭВМ. Из прошлого опыта в действующих программах гидравлических расчётов (наряду с многочисленными вариантами метода И. Ньтона) в начале стали применяться методы В. Лобачева и М. Андрияшева, а с 1987 года в основном только методы расчёта итальянского инженера Е.Тодини. Таким образом, идея Кемпа и Хазена регулировать величину омического сопротивления в зависимости от тока J (R=f(J)), так чтобы моделировалась квадратичная зависимость dH=Z*Q^2 была надолго положена в архив технических идей. И как показывает история развития методов решения гидравлических задач, идею Кемпа и Хазена нужно было доработать и развить, что бы получить не только прекрасный результат, но и (что особенно важно) более глубоко понять физику процесса гидравлического расчёта.
С переходом к системе линейных уравнений вместо системы нелинейных, в которых в тройке параметров dH,Q и Z вместо квадратичного сопротивления Z появляется линейное сопротивление ZL встаёт вопрос, что это такое с точки зрения физика? Реальное сопротивление или (как утверждают математики) это только коэффициент при расходе Q? Для прояснения этого вопроса (не решения) воспользуемся услугами математики, составим систему из 2-х уравнений для элементарных участков :
dH=Z*Q^2 (1) квадратичное уравнение
dH=ZL*Q (2) линейное уравнение
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), определим величину величину линейного сопротивления - ZL из соотношения:
Z*Q^2=ZL*Q откуда получаем: ZL=Z*Q (3) Далее, определим величину ZL из системы уравнений (1) и (2) другим способом из уравнения (2): Q=dH/ZL, подставив расход Q в (1), получим:
Таким образом, мы получили две формулы для расчёта величины линейного сопротивления ZL - (3) и (4). Казалось, что обе формулы равноправны, так как получены из одной и тоже системы уравнений, но практика показала, что если в качестве итерационной формулы применить уравнение (3), то программа гидравлического расчёта зацикливается уже на 3-ей итерации. Расчёт ещё можно спасти, если применить усреднение расходов Q в двух соседних итерациях. Но если применить в качестве итерационной формулу (4) программа расчёта не только не зацикливается, но и быстро сходится (в 2 раза быстрее) к правильному ответу! Надо ответить важный момент- величины ZL, рассчитанные по формулам (3) и (4) совершенно разные по величине и постепенно начинают сравниваться только в конце итерационного процесса. Из этого можно сделать вывод, что формула (4) более точно определяет величину линейного сопротивления как физической величины. Интересно, что только к 1970 годам появились публикации методики гидравлических расчётов, в которых применялась формула (3) в качестве итерационной формулы с применением усреднения по расходам Q, как указывалось выше. Чуть позже в 1975 году появилась первая публикация метода гидравлического расчёта, в которой в качестве итерационной формулы использовалась только формула (4), естественно без всякого усреднения по расходам. В этой же статье приведена формула для расчёта линейного сопротивления ZL для общего случая падения напора на элементарном участке:
Реально в гидравлических расчётах показатель степени n меняется в диапазоне 1.25-2.0 в зависимости от режима течения среды на участке. Вывод формулы (5) совершенно аналогичен выводу (4), достаточно в уравнении (1) степень 2 заменить на n. При значении n=2 формула (5) превращается в (4), имеющая более компактную запись.
Важное дополнение: Проверено, что формулу (5) можно с успехом использовать при расчётах электрических и магнитных цепей на постоянном токе. При этом показатель степени n может быть достаточно большим, никаких ограничений не выявлено, а количество итераций от величины степени n не зависит. Вот какой результат могли бы получить ещё в 1930-40 годах, если бы предложения Кемпа и Хазена в 1934 г постарались доработать и развить, а не выбрасывать на свалку. Тот самый случай про который писал Фридрих Энгельс, когда вместе с мыльной водой из ванночки выбрасывают и ребёночка. Да, как важно правильно выбрать направление поиска!
Гидравлический расчёт кольцевой схемы
Ниже приведены полные распечатка двух программ гидравлических расчётов расходов воды qk по ветвям кольцевой гидросхемы согласно схемы замещения на рис.1-2 методом контурных расходов - (МКР) и методом узловых потенциалов- (МУП). Оба расчёта выполнены в матричной форме. Для сравнения приведены два результата расчётов расходов qk в табличном виде для МКР и МУП.
Метод контурных расходов (МКР) рис.1
Программа гидравлического расчёта расчёта (МКР)
(в матричной форме)
Метод узловых потенциалов (МУП) рис.2
Схема замещения кольцевой гидравлической сети
Программа гидравлического расчёта расчёта (МУП)
(в матричной форме)
Выводы
- Методика гидравлических расчётов, основанная на итерационных формулах (4) и (5) является универсальной и может быть использована для различных способах расчёта системы линейных уравнений, описывающих гидравлическую систему произвольной сложности (например, метод контурных расходов. узловых потенциалов).
- Простой математический аппарат, применяемый в данной методике для расчёта простых или сложных гидравлических систем, независимость времени решения задачи от величины задания исходных данных по расходу qk в ветвях схемы замещения, а также способность учитывать все основные физические процессы, влияющие на конечный результат делает эту методику конкурентоспособной в сравнении с любыми современными методиками расчёта.
- Простой математический аппарат, применяемый в данной методике позволяет резко расширить круг пользователей за счёт старшеклассников, студентов ВУЗов и просто заинтересованных в освоении гидравлических расчётов.
Список литературы
1. Аврух В. Ю., Дугинов Л. А., Карпушина И. Г., Шифрин В. Л. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
2. Аврух В. Ю., Дугинов Л. А. Теплогидравлические процессы в турбо- и гидрогенераторах. – М.: «Энергоатомиздат»,1991. C. 50–55.
3. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
4. Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
5. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва, «Машиностроение» 1992
6 . Ионкин П.В. Зевеке Г.В. и другие Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. М., "Энергия", 1975
