Это продолжение серии статей, посвящёной динамическому хаосу в достаточно простой механической системе: шарике, прыгающем на подпружиненном столике. Мы рассмотрели два механизма приводящих к появлению странных аттракторов: разрушение гетеро- и гомоклинических орбит, а также каскад бифуркаций удвоения периода. Кроме того, мы научились пользоваться показателями Ляпунова для характеризации хаотических орбит.
Наша система очень простая (поэтому я её и выбрал в качестве примера), для полного описания всей её динамики достаточно всего двух параметров: энергии системы E и начальной точки орбиты.
Максимальный показатель Ляпунова позволяет нам увидеть динамику системы в пространстве всех её параметров (E, θ), и различить полюсы, инвариантные торы и странные аттракторы. Так на одной карте можно увидеть всё динамические процессы системы и сценарии перехода к хаосу. Вот она:
Синий цвет на этой диаграмме соответствует устойчивым орбитам: полюсам и их окрестностям. Голубой цвет — инвариантным торам. Наконец, серые и коричневые области обозначают странные аттракторы. Рассмотрим несколько частей этой диаграммы внимательнее.
Обратите внимание на то, что внутри серо-коричневой хаотической области проявляются некоторые собственные структуры: островки стабильности и то, что геологи или петрографы назвали бы флюидальной текстурой, похожей на фигуры течения или пластических деформаций. Это говорит о том, что странный аттрактор порождает не просто случайный набор точек, его беспорядок обладает собственной внутренней структурой, плавно и непрерывно меняющейся при изменениях параметров системы.
Рождение резонансов
Первым на диаграмме бросается в глаза глубокий стабильный жёлоб, порождённый неподвижной точкой p¹. От него по мере увеличения энергии отходят длинные синие "когти" полюсов более высоких порядков. Вот как выглядит первое появление хаоса в системе:
Во взаимном расположении полюсов без труда читается структура множества рациональных чисел (дерево Штерна-Броко), которое соответствует структуре чисел вращения резонансов.
От каждого полюса отходит тонкий, постепенно расширяющийся неустойчивый "хребет" порождённый гетероклиническими орбитами седловых точек. На диаграмме они отмечены буквами Г, с указанием соответствующих седловых точек. Соединяющие седловые точки орбиты разрушаясь, порождают странные аттракторы, которые постепенно расширяются, демонстрируя явление диффузии Арнольда.
Линии полюсов небольшого порядка глубоко врезаются в хаотическую область, создавая в ней заливы, которые в странном аттракторе мы видим, как острова порядка в море хаоса. Увеличение энергии приводит к тому, что полюсы тоже начинают порождать резонансы более высоких порядков. Это придаёт бифуркационной диаграмме самоподобие и фрактальную структуру.
Очень любопытную картину показывает область рождения резонанса p³. Его рождению предшествует нарастающее возмущение полюса p¹, и появление множества резонансов высокого порядка. Одновременно с полюсом p³ рождается и седловая точка s³, гетероклиническое многообразие которой незамедлительно разрушается и порождает расходящуюся хаотическую область. Однако теперь становится видно, что диффузия Арнольда происходит за счёт появления и исчезновения множества полюсов и сёдел очень высокого порядка, окружающих седловую точку.
Удвоение периода
Наконец, в тех местах, в которых заливы устойчивости заканчиваются, уступая место хаосу, происходит каскад рождений резонансов, заканчивающийся удвоением периода полюса. Так происходит "растворение" полюса в странном аттракторе. Архетипичный случай демонстрирует полюс p¹:
В точке бифуркации неподвижная точка p¹ превращается из полюса в седловую s¹, и порождает пару новых полюсов второго порядка p². Гомоклиническая орбита Г(s¹), соединяющая точку s¹ с самой собой разрушается, порождая странный аттрактор, поглощающий полюса более высокого порядка. Эту же судьбу повторяют и полюсы p², как показано внутри выделенного прямоугольника. Новые полюсы вскоре вновь испытывают удвоение периода (ещё меньший прямоугольник)
и очень быстро поглощаются хаосом. Этот же сценарий наблюдается на всех масштабах для всех полюсов. Даже в небольшом упорядоченном островке, который порождается полюсом p³, мы вновь наблюдаем ту же череду бифуркаций.
Мы использовали для построения диаграммы нулевой меридиан на сферической поверхности постоянной энергии системы. В силу физической симметрии на нём должны располагаться все неподвижные точки. Однако области инвариантных торов распространяются далеко за пределы нулевого меридиана и способны, деформируясь, пересекать его вновь, что мы и видим, как внезапно появляющиеся островки порядка.
Напоследок, классическим образом продемонстрирую самоподобие бифуркационной диаграммы, увеличивая приближение к точке, в которой каскад удвоений периода p¹ приводит к глобальному хаосу.
