В этой серии статей мы исследуем динамику шарика, подпрыгивающего над столиком на пружинке и знакомимся с элементами теории хаоса. Нам пришлось преодолеть долгий путь от физической модели через фазовое пространство к динамике отображения Пуанкаре прежде чем начать разговор, собственно, о хаосе.
Мы полностью разобрались с упорядоченными структурами -- инвариантными многообразиями нашей системы. Среди них есть устойчивая неподвижная точка, которая является полюсом. Вокруг этой точки располагаются инвариантные торы, распадающиеся на циклы. По мере увеличения энергии системы, эти циклы деформируют окружающие их инвариантные торы, а потом по какой-то причине теряют устойчивость и "тонут" в море хаотических орбит. Теперь пора разобраться в этой самой "какой-то" причине.
Источник хаоса
В теории динамических систем важную роль играет понятие структурной устойчивости, которое относится к динамическим системам в целом, а также к их особенным точкам, инвариантным многообразиям и к поведению фазового пространства вокруг них.
Например, в гамильтоновых системах структурно устойчивы полюсы, поскольку небольшие изменения параметров системы могут изменить их положение в фазовом пространстве, скорость вращения в их окрестностях, но оставляют их полюсами. Исчезнуть или появиться они могут только в результате особого явления: бифуркации — скачкообразной качественной перестройки структуры системы при плавном изменении еë параметров. Однако бифуркация в пространстве параметров это объект нулевой меры, то есть, граница между областями, в которых структурная устойчивость сохраняется.
Структурная устойчивость седловых точек проявляется в том, что при изменении параметров могут меняться собственные значения якобиана и направления собственных векторов, но это меняется гиперболическая природа седловой точки и она остаëтся локально неустойчивой неподвижной точкой. Также структурно устойчивы инвариантные торы и резонансные цепочки: возмущения их деформируют, но оставляют самими собой.
Важный пример структурно неустойчивого многообразия — особая орбита, соединяющая две седловые точки, которая называется гетероклиническим многообразием. Оно не имеет топологии тора, для него неприменимо понятие числа вращения, вообще, как мы увидим, это довольно своеобразный объект. Вот пример такого многообразия, возникающего при появлении в нашей системе резонанса четвёртого порядка.
К счастью, нам не потребуется сложное трёхмерное представление этого многообразия, поскольку всеми его свойствами обладает двумерное сечение Пуанкаре, которое выглядит так:
Мы неоднократно упоминали, что в автономных системах фазовые траектории не пересекаются. Гетероклинические орбиты являются исключением: в седловых точках они пересекаются под ненулевым углом. При этом каждая из них одновременно является неустойчивым инвариантным многообразием для одной седловой точки и устойчивым многообразием для другой. Традиционно эти многообразия обозначаются Wᵢ и Wₛ соответственно, а само гетероклиническое многообразие образованное седловыми точками sⁿ обозначим как Г(sⁿ). В отличие от торов, движение вдоль Г(sⁿ) занимает бесконечное время: точки экспоненциально быстро удаляются от одной неподвижной точки вдоль Wᵢ, но при этом к другой точке они приближаются вдоль Wₛ экспоненциально медленно. Таким образом, показанное на рисунке многообразие, хоть и является топологически связным, но с точки зрения динамики, распадается на восемь раздельных орбит, так что точка никогда не сможет перейти с одной орбиты на другую.
Структурная неустойчивость многообразия Г(sⁿ) проявляется в том, что его существование возможно только в точке бифуркации, на границе между областями в пространстве параметров, в которых устойчивы другие объекты: инвариантные торы с одной стороны, и странные аттракторы с другой (о том, что это за звери, поговорим чуть позже).
Полное совпадение Wᵢ и Wₛ возможно только в отсутствии каких бы то ни было возмущений в системе, отклоняющих её от линейного полностью интегрируемого приближения. При наличии любого отличного от нуля возмущения, многообразия Wᵢ и Wₛ совпадать перестают.
Что такое "возмущение" в нашем случае? Это неизбежная нелинейность системы, связанная с ударами из-за которых потенциальная энергия системы теряет гладкость.
Динамика седловой точки состоит в одновременном растяжении и сжатии фазового пространства, с сохранением его объёма. И интенсивность этих деформаций зависит от энергии системы. Напомню, что резонансные циклы рождаются в окрестности неподвижной точки p¹, при достижении некоторого значения энергии E*. Это хороший пример бифуркации.
"Новорождённый" резонанс состоит из цепочки полюсов и седловых точек, но в момент рождения собственные числа якобиана во всех точках цикла должны совпадать с собственными числами полюса p¹, которые располагаются на единичной окружности в комплексной плоскости. Дальнейшее увеличение энергии приводит к тому, что собственные числа якобиана седловых точек покидают единичную окружность, оставаясь на вещественной оси. Одно собственное число при этом становится больше единицы, а другое — меньше, в то время как их произведение (определитель якобиана) остаëтся единичным, так что они взаимно обратны. Вот как выглядит спектр якобиана типичной седловой точки:
Незначительное в начале, растяжение и сжатие фазового пространства вокруг седловой точки становится весьма сильным при увеличении энергии системы. Совпадение устойчивого и неустойчивого многообразий при этом нарушается. Собственные числа якобиана в точках sⁿ являются основаниями геометрической прогрессии, которой подчиняются расстояния между точками на орбите Г(sⁿ) и неподвижными точками sⁿ. Этот экспоненциальный характер растяжения и сжатия приводит к тому, что малое отклонение от Wₛ на расстояние порядка 10⁻ⁿ увеличивается и достигает значений порядка единицы за время, пропорциональное n. Всë это приводит к тому, что вероятность для точки остаться на Г(sⁿ) под действием отображения П при энергии больше E*, стремится нулю.
Когда в системе есть трение или вязкость, то Wᵢ и Wₛ не совпадают и не пересекаясь, формируют спиралевидные структуры, как показано на рисунке:
Но в нашей системе трения нет, она консервативна, куда же деваться несовпадающим устойчивому и неустойчивому инвариантным многообразиям? Они больше не могут достичь седловой точки, но закончиться "просто так", или уйти в бесконечность они тоже не могут (вокруг полно инвариантных торов, с которыми пересекаться они не могут). Значит, эти многообразия должны каким-то хитрым образом упаковываться в конечном объëме фазового пространства, оставаясь бесконечными.
В 1950 году Гаррет Биркхоф доказал общую теорему для двумерных систем, которую через 15 лет Стивен Смейл смог обобщить на системы любых размерностей:
Если для некоторого гладкого отображения f устойчивое и неустойчивое гетероклинические многообразия пересекаются под ненулевым углом, то должно существовать бесконечное множество таких пересечений, имеющее топологию канторова множества. При этом в любой окрестности любого такого пересечения найдутся периодические орбиты отображения f.
Доказательство теоремы Биркхофа-Смэйла непростое и я не буду приводить его здесь. Вместо этого предлагаю посмотреть "под микроскопом" на то, как ведут себя гетероклинические многообразия вблизи седловых точек.
В качестве объекта исследования возьмём пару соседних седловых точек s⁵. Разместим большое количество точек на многообразиях Wᵢ и Wₛ очень близко к одной из них, так чтобы попадание на многообразия было максимально точным. Далее, будем применять к точкам, лежащим на Wᵢ отображение П⁵, а к тем, что лежат на Wₛ отображение П⁻⁵, то есть, обратное отображение Пуанкаре. Точки начнут медленно покидать окрестности нашей седловой точки и перемещаться к соседней, как поезд по рельсам. Там-то мы и поставим свой "микроскоп", дожидаясь приближения "поезда" около самой "конечной станции", и вот какую неожиданную картину мы увидим:
Устойчивое и неустойчивое многообразия, при приближении к седловой точке, оставаясь гладкими линиями, искривляются и превращаются в волны, которые сжимаются и вытягиваются, подчиняясь гиперболической динамике точки s⁵. Именно эти волны образуют то самое бесконечное множество пересечений, о котором говорится в теореме Биркхофа-Смэйла.
Такое поведение не относится только к нашей системе, оно носит универсальный характер, так что в любой динамической системе появление гетероклинической орбиты приводит к образованию подобной структуры из бесчисленного множества петель, изгибов и меандров.
Что же собой представляет это сложное множество пересечений?
Странный аттрактор
Красивая картина складок гетероклинических многообразий, на самом деле, весьма тонкий эффект, который достаточно сложно наблюдать. Для этого мне пришлось использовать вычисления повышенной точности, начальные точки на многообразиях должны были располагаться очень близко к седловой точке и должны были идеально попасть на гетероклинические орбиты.
Если мы будем менее точны и понаблюдаем за динамикой небольшого шара в фазовом пространстве, окружающем седловую точку, то увидим, что в окрестности соседней седловой точки он будет многократно сложен в складки, потом растянут вдоль неустойчивого многообразия, а потом снова сложен и вновь растянут около другой седловой точки. Это преобразование — композиция растягивания и складывания называется преобразованием пекаря по аналогии с вымешиванием теста. Вот как оно выглядит в самом простом варианте:
Такое преобразование активно перемешивает фазовое пространство, так что изначально близкие точки экспоненциально быстро разбегаются друг от друга, но при этом всегда оставаясь заключены в некотором конечном объёме.
Не следует забывать, что мы рассмотрели поведение седловой точки пятого порядка, а это значит, что она "работает" не одна, а в компании четыре себе подобных. Складки инвариантных многообразий не только растягиваются, покинув окрестность седловой точки, они разбегаются по разный её соседям: часть — налево, часть — направо, что ещё больше усиливает чувствительность к начальным условиям.
Несмотря на активнейшее перемешивание, преобразование пекаря имеет бесконечное множество неподвижных точек различного порядка. Совокупность этих неподвижных точек называется странным аттрактором.
Это необычная структура является глобально устойчивой (орбита не никогда покидает его), но состоит сплошь из локально неустойчивых циклов самого разного порядка. Так что расстояние между какими-либо двумя близкими точками, принадлежащими одному аттрактору будет экспоненциально быстро увеличиваться. Настоящим открытием Смейла было то, что динамическая система может устойчиво иметь бесконечное количество неустойчивых периодических орбит. Странный аттрактор является инвариантной структурой, но уже не может считаться многообразием, поскольку обладает топологией канторова множества, тогда как многообразие должно быть локально подобно евклидовому пространству.
Все примеры динамического хаоса (не только гамильтонового) заключают в себе те или иные странные аттракторы, которые имеют очень разнообразную природу, топологию и сценарии возникновения. Рассмотренный нами сценарий разрушения резонансных КАМ-торов из-за структурной неустойчивости гетероклинических орбит называется сценарием Рюэля-Такенса.
Диффузия орбит
Итак, распад гетероклинической орбиты, приводит к тому, что седловая точка, сразу после своего появления окружает себя облаком странного аттрактора. Это облако немного расширено в непосредственной окрестности седловой точки и сильно вытянуто вдоль его устойчивого и неустойчивого многообразий, так что для малых энергий странный аттрактор практически совпадает с инвариантными многообразиями. В таких случаях говорят, что гетероклиническая орбита затеняет собой странный аттрактор.
Однако увеличение энергии системы увеличивает отклонение собственных чисел якобиана седловой точки от единицы. Это в свою очередь, усиливает растяжение и сжатие фазового пространства около этой точки и расширяет область в которой пересекаются её гетероклинические многообразия. По мере увеличения энергии системы, хаотическое облако постепенно расширяется, вовлекая в неопределённое поведение инвариантные торы на границе хаотической области. Это явление называется диффузией Арнольда.
* Как верно указано читателем в комментарии не совсем корректно называть это явление диффузией Арнольда -- тое сть, перекачкой энергии от одного резонанса к другому. Но описанный процесс, всё же, можно назвать диффузией орбиты, которая после разрушения тора приобретает стохастичность и покидает окрестностии седловой точки. Однако это диффузионное облако, по мере течения времени, не покидает некоторый ограниченный фазовый объём.
Увидеть это явление непосредственно можно наблюдая за тем, как с увеличением энергии системы расширяется проекция на нулевой меридиан орбиты, начинающейся в седловой точке.
Каждая седловая точка образует на этой диаграмме плавно расширяющийся конус, похожий на длинный коготь. В какой-то момент происходит объединение и перекрытие соседних конусов, это значит, что перемешивающее действие седловых точек полностью захватило стабильную область, лежавшую между ними и все точки в ней превратились в точки нового объединëнного странного аттрактора.
Впрочем, на диаграмме с диффузией орбит видно, что объединение конусов — это не единственный механизм, приводящий к расширению хаотической области. По мере увеличения энергии обширные хаотические области рождаются как-бы из ниоткуда. Его источником являются уже не седловые точки, а бифуркации, приключающиеся с полюсами высоких порядков.
Отражение большого в малом
Давайте внимательнее присмотримся к полюсам, и исследуем их поведение. В прошлой статье мы видели, что полюсы, оказавшись в хаотической области могут претерпеть бифуркацию, превратившись в седловую точку.
В качестве примера рассмотрим как увеличение энергии сказывается на полюсе p⁷ и его собственных числах.
По мере увеличения энергии, и полюс становится более "энергичным" — увеличивается скорость вращения фазового пространства вокруг него, о чём говорят увеличивающиеся углы собственных чисел. Когда они, путешествуя по единичной окружности, пересекают углы в 2π/5, 2π/4, 2π/3 рождаются резонансы инвариантных торов 5, 4 и 3-го порядков, точно также как это происходит в полюсе p¹. Однако поскольку они рождены полюсом p⁷, порядки этих резонансов (знаменатели чисел вращения) будут равны 7×5 = 35, 7×4 = 28 и 7×3 = 21, соответственно.
Наконец, собственные числа полюса достигают угла π, что приводит к рождению резонанса второго порядка. В этом случае появляется два полюса и только одна седловая точка. В силу симметрии, седловая точка этого резонанса оказывается ровно на месте полюса p⁷, в этот момент спектр якобиана этой точки покидает единичную окружность и переходит на вещественную прямую. Так в результате бифуркации один полюс теряет устойчивость, превращаясь в седловую точку, и одновременно с этим рождается пара новых устойчивых полюсов. Эту бифуркацию называю бифуркацией вилки или камертона из-за характерной формы.
Из новой седловой точки исходит два инвариантных многообразия, которые петлями возвращаются обратно. Такие орбиты называются гомоклиническими и они незамедлительно порождают новый странный аттрактор по сценарию Биркхофа-Смэйла, описанному в предыдущем разделе.
Подобная судьба постигает все полюсы высших порядков, рождающихся в резонансах. Присмотритесь к резонансу третьего порядка, родившемуся из полюса p⁷. Он в свою очередь также распадается на резонансы 5, 4, 3 порядков, достигает резонанса второго порядка, превращается в гомоклиническую восьмёрку и после этого красиво исчезает в облаке хаоса.
Получается, что первоначальным источником хаоса являются гетеро- и гомоклинические орбиты, которые соединяют седловые точки, рождаемые резонансами инвариантных торов, окружающих полюс p¹. Диффузия Арнольда постепенно расширяет границы странного аттрактора. Параллельно с этим процессом происходит ещё один — рождающиеся в резонансах полюсы сами начинают порождать последовательность резонансов с седловыми точками и полюсами более высоких порядков. Наконец, все они неизбежно превращаются в седловые точки с гомоклиническими орбитами, а потом пополняют ряды странных аттракторов. В конце концов, это же произойдёт и с полюсом p¹ при достижении энергии, при которой возникнет резонанс второго порядка. Такая и фрактальная динамика в конце концов, превращает все точки фазового пространства в область действия глобального странного аттрактора.
* * *
В следующий раз мы поговорим о некоторых количественных характеристиках динамического хаоса: фрактальной размерности, экспонентах Ляпунова и мультичастотности.