В этой статье мы рассмотрим получение тригонометрических преобразований координат пространства и времени, являющихся обобщением известных классических преобразований Лоренца. Тригонометрические преобразования координат пространства и времени впервые в физике получены мною в моей монографии «Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа тригонометрических преобразований Лоренца».
Как известно, А. Эйнштейн получает 2 свою специальную теорию относительности, используя движение систем отсчета вдоль только одной пространственной координаты. Нас же интересует вопрос, каковы будут преобразования координат пространства и времени, если движущаяся систем отсчета (ИСО) движется под некоторым углом по отношению к неподвижной ИСО. Вывод этих преобразований по методу самого А. Эйнштейна, выполненному им в его известной первой основополагающей работе 2 по СТО, и приводимому в нашем параграфе 2, мы здесь опускаем. Далее я привожу материал параграфа 3 из своей монографии «Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа тригонометрических преобразований Лоренца».
Примечание: синие цифры в тексте указывают ссылку на номер литературы, приведенной в конце.
3. Вывод преобразований Лоренца для двух ИСО,
движущихся под углом друг к другу, по стандартному методу СТО.
Пусть мы имеем неподвижную ИСО К с осями координат (х, у, z, t) и движущуюся относительно нее со скоростью v ИСО К’ с осями координат (хʹ, уʹ, zʹ, tʹ). Направление движения ИСО Кʹ происходит вдоль ее оси координат хʹ и направлено под углом α к оси координат х ИСО К (см. рис. 3), причем в начальный момент времени t = tʹ= 0 начала координат О и Оʹ обеих ИСО совпадали (см. Рис. 3).
Обратимся к нахождению прямых и обратных преобразований координат х, t и хʹ, tʹ для таких, движущихся под некоторым углом α друг к другу, систем отсчета, по методике, общепринятой в специальной теории относительности (СТО) и многократно изложенной в многочисленной литературе по СТО, например, в учебнике 9.
Прежде всего отметим, что начало координат системы К’ (движущейся) имеет координату хʹ = 0 в своей собственной системе Кʹ и х = vt cosα в системе К (неподвижной, см. рис. 3, точка В), откуда х - vt cosα = 0, и, когда обе эти системы были в одной и той же начальной точке О = Оʹ, то, в силу этого, значению хʹ= 0 должно было соответствовать х - vt cosα = 0, то есть, при обращении в нуль величины (х - vt cosα) должна обращаться в нуль и координата хʹ. Поэтому величины хʹ и (х - vt cosα) могут быть связаны соотношением
хʹ = γ (х – vt cosα), (2)
где γ – некоторый множитель.
Аналогично, начало координат системы К (движущейся) имеет координату х = 0 в своей собственной системе К и хʹ = -vtʹ cosα, в системе Кʹ (неподвижной), откуда хʹ + vtʹcosα = 0. Значит, когда обе эти системы были в одной и той же начальной точке О = Оʹ, то значению х = 0 должно было соответствовать хʹ + vtʹcosα = 0, то есть, опять-таки, при обращении в нуль величины (хʹ + vtʹcosα) должна обращаться в нуль и координата х. Поэтому величины х и (хʹ + vtʹcosα) могут быть связаны соотношением
х = γ (хʹ+ vtʹcosα), (3)
где γ – тот же множитель.
Множитель γ в обоих случаях один и тот же, так как из принципа равноправия систем отсчета К и Кʹ (принципа относительности) следует, что коэффициент пропорциональности должен быть одинаковым.
Во втором случае взят знак минус у скорости, так как в системе Кʹ (неподвижной) система К движется в сторону (на рисунке влево и вниз), обратную, нежели двигается (на рисунке вправо и вверх) система Кʹ в системе К (неподвижной).
Для координаты y по аналогии получим
y = vt sinα + yʹ, откуда yʹ = y- vt sinα . (**)
[Примечание: ниже, для ясности, приводим формулу (*) из параграфа 2, в котором мы получаем наши новые преобразования непосредственно по методу А. Эйнштейна:
x = xʹ + vt cosα, откуда xʹ = x - vt cosα. (*)]
Заметим, что формулы (*) и (**) получаются также и в случае движения под углом α друг к другу двух ИСО с попарно параллельными друг к другу соответственными осями координат (x║xʹ, y║yʹ) (см. Рис. 4).
Пусть ИСО Кʹ, начало координат которой первоначально находилось в точке О = Оʹ, спустя время t по часам ИСО К, что соответствует времени tʹ по часам ИСО Кʹ, переместилось в точку В, пройдя при этом расстояние ОВ = vtʹ. При этом в ИСО К имеем Ох = ОВcosα = vtʹcosα, и тогда далее в соответствии с формулами сдвига (ОВ = vtʹ) и поворота на угол (α + φ) радиус-вектора BS относительно ИСО К, что соответствует повороту на угол φ радиус-вектора BS относительно ИСО К’ получим уравнения (#).
Аналогично, получаем уравнения (#) и для координаты yʹS (S здесь и далее есть нижний индекс).
Тогда для обратных по отношению к ним функций будем иметь уравнения (##), учитывая, что t = tʹ. Как видим, полученные прямые и обратные функции для xS, yS и xʹS, yʹS , при условии опускания индекса s у всех переменных, который всего лишь обозначает принадлежность переменных к произвольно взятой точке S, по форме ничем не отличаются от подобных же функций, описываемых уравнениями (***), выведенных выше для случая, когда ось хʹ движущейся ИСО направлена по направлению движения этой ИСО, а ось уʹ направлена перпендикулярно новому положению оси хʹ.
Единственное, что изменяется, так это сами величины xʹ = xʹS и yʹ = yʹS.
Сейчас, у нас для формул (#) и (##) (см. рис.4) они равны
xʹ = xʹS = r cos(α + φ), и yʹ = yʹS = r sin(α + φ),
где r = BS, а во втором случае, для формул (***), или выше для формул (*) и (**) (см. рис.4, на котором мы теперь мысленно, чтобы перейти к случаю, описываемому формулами (***), повернем ось xʹ против часовой стрелке, так, чтобы она совместилась с направлением движения) они были бы равны xʹS = r cosα и yʹS = r sinα, где также r = BS. Подчеркнем, что во втором случае и сами координаты xʹS и yʹS также повернуты на угол 90, причем xʹS становится повернуто по направлению движения, и yʹS ⊥ xʹS.
Но ввиду того, что и в первом случае, и во втором, форма формул (#), (##), с одной стороны, и формул (***), с другой стороны, совершенно одинаковы, то дальнейший вывод преобразований Лоренца от этого никак не изменяется. Следовательно, и результат вывода будет тем же самым. То есть, рассматриваемый здесь случай движения под углом друг к другу двух ИСО с взаимно параллельными соответственными осями координат и случай движения двух ИСО также под углом друг к другу, но с не параллельными осями координат, с точки зрения дальнейшего вывода преобразований Лоренца абсолютно идентичны.
Переходим к дальнейшему преобразованию уравнений (2) и (3).
Формула (3) позволяет по известным координате х’ и времени t' события в системе К' определить координату х события в системе К. Чтобы определить время t события в системе К, выразим х из уравнения (2), получив уравнение (2'), и подставив его найденное значение в уравнение (3), получаем преобразования (2''), после которых окончательно получаем уравнение (4).
Далее находим коэффициент пропорциональности γ. Пусть в момент времени t = t' = 0 (начала координат совпадают) из начала координат в направлении оси х посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране с координатами х' = а'. Это событие (вспышка) описывается координатами х' = а', t' = b' в системе К', и координатами х = а = а' cosα, t = b в системе К, причем, а' = сb', а = сb, так что координаты событий в обеих системах можно представить в виде:
х = сb, t = b и х' = сb', t' = b'.
Подставив эти значения в формулы (2) и (3), получим формулы (5) и (6).
Перемножив уравнения (5) и (6), получим уравнение (7) для множителя γ.
Подстановка уравнения (7) в уравнения (3) и (4) дает окончательные формулы для х и t (уравнения (8) и (9)).
Уравнения (8) и (9) дают переход от координат и времени, отсчитанных в системе К', к координатам и времени в системе К, то есть, переход от системы К' к системе К.
Если мы подставим найденное значение γ в уравнение (2), то получим уравнение (10).
Чтобы определить время t' события в системе К', выразим х' из уравнения (3), получив уравнение (3'), и подставим его найденное значение в уравнение (2), получая уравнение (11).
Подставив в найденное уравнение (11) значение γ, получим уравнение (12) для времени t'.
Уравнения (10) и (12) дают переход от координат и времени, отсчитанных в системе К, к координатам и времени в системе К', то есть, переход из системы К в систему К'.
Ясно, что так как угол α может изменяться от 0 градусов до 90 и далее до 180, то косинус такого угла также может быть переменным. Из тригонометрии мы знаем, что косинус угла 0 градусов равен 1, и потому при угле α = 0ᵒ, все наши формулы (8), (9), (10), (12) переходят в обычные традиционные формулы преобразований Лоренца. А это означает, что
Далее, отходя от текста параграфа 3 книги, просто заметим, что полученные нами новые тригонометрические преобразования координат пространства и времени [формулы (8), (9), (10), (12) с новым лоренц-фактором по формуле (7)] соответствуют принципу относительности и неизменности пространственно-временного интервала, что показано нами первоначально в параграфе 4 и затем более подробно и математически точно, в соответствии с правилами теории групп 20 -25, в разделе 8. Это означает, что
Что мы и делаем далее в этой и других наших монографиях.
Кроме того, в разделе 5 были получены формулы длины тела в направлении движения, временного интервала и преобразования скоростей. Так как получение этих формул не вызывает никаких трудностей, то здесь мы их даем без вывода, ибо каждый может их получить самостоятельно.
Формула (14) дает нам кинематическую лоренцеву длину, формула (15) - кинематический лоренцев интервал времени (длительность), формулы (15') и (15'') – дают уравнения преобразования скоростей (для случая коллинеарного движения тел).
Это означает, что стандартные формулы СТО есть частный случай полученных нами более общих формул. Отметим, что так как стандартные формулы СТО соответствуют случаю, когда скорости u (uʹ) и v имеют направление оси х (см. работу 2), то формулы (15’) и (15’’) соответствуют случаю, когда траектория движения третьего тела параллельна оси х неподвижной ИСО, а подвижная ИСО движется к этой же оси под углом α. Более общие случаи см. в разделе 10.2 и в Дополнении.
В разделе 6 были получены формулы (17) и (18) для пространственных координат y и y' с новым лоренц-фактором, определяемым формулой (16), и формулы (17’’) и (18’’) для кинематического координатного времени, отмеряемого вдоль осей y и y'.
Как видим, в условиях, когда направление движения направлено под углом к координатным осям ИСО, наряду с обычным традиционно определяемым через координаты х и хʹ временем, появляются также и формулы для исчисления времени через координатные оси у и уʹ. Очевидно, что если рассматривать такое движение не на плоскости, а в трехмерном пространстве, то появятся также и формулы для исчисления времени через координатные оси z и zʹ.
Физический смысл таких формул ясен и может быть объясним двояким образом:
Во-первых, если начало системы координат движущейся ИСО Кʹ передвигается в пространстве от точки А к точке В, и эти обе точки имеет, каждая, свою проекцию, например, на ось у, а именно, точка А имеет таковой проекцией точку Ау, а точка В имеет таковой проекцией точку Ву, то время ty есть время, за которое проекция на ось у начала координат ИСО Кʹ переместилась из точки Ау в точку Ву. Аналогичное пояснение может быть дано и для других подобных времен (tx, tʹx, tʹy, tz, tʹz). Здесь вторые буквы при значке времени есть нижние индексы.
Во-вторых, если движение осуществляется под углом к координатным осям ИСО, то вектор v относительной скорости движения приобретает проекции на эти оси координат. Далее. Как известно, в СТО принято считать, что время в движущейся ИСО Кʹ в системе координат неподвижной ИСО K направлено по траектории движения ИСО Кʹ, вдоль которой направлен и вектор скорости v. И поскольку время оказывается на диаграммах Минковского направленными строго в определенном направлении, плюс имеет каждый миг какую-то, вполне определенную величину, то поэтому можно полагать, что время tʹ в движущейся ИСО Кʹ в системе координат неподвижной ИСО K также может быть представимо в виде вектора tʹ. Аналогично, в системе координат ИСО Кʹ время t в ИСО К также представимо в виде вектора t. Но любой вектор может иметь свои проекции на координатные оси, поэтому определенное нами в формулах (17ʹʹ) и (18ʹʹ) время (длительности) t и tʹ может трактоваться как проекции векторов t и tʹ, соответственно, на оси координат у и уʹ. К понятию 3-мерного времени пришел и автор работы 45. Упоминается оно и в работе 46.
Ясно, что при скоростях движения v, много меньших скорости света (v << c), вновь выведенные преобразования сводятся к преобразованиям Галилея, спроецированным на пространственные оси координат, - либо у, либо у’, - ибо выражение v sinα и есть проекция скорости движения, например, на ось у.
В разделе 7 были получены формулы для длины тела в направлении, поперечном направлению движения (19), и для временного интервала (20).
Естественно, что дальнейшее обобщение наших тригонометрических преобразований на третью ось z, и, тем самым, на трехмерное пространство не составляет труда. Что мы и сделали далее в монографии.
Ссылки на статьи по монографии «Произвольное движение инерциальных систем отсчета и группа тригонометрических преобразований Лоренца».
Тригонометрические преобразования координат пространства и времени. Superluminal motion 1
Arbitrary motion of inertial frames of reference and the group of trigonometric Lorentz transformations
Ссылки на начальные статьи по моим монографиям:
Сверхсветовое движение материальных тел. О книге
Литература.
(нумерация списка литературы соответствует таковой в книге. Здесь приведена только та литература, ссылки на которую есть в тексте).
2 Эйнштейн А., «К электродинамике движущихся тел», в книге «Теория относительности. Избранные работы», НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск, 2000 г. Оригинал: Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Korper — Ann Phys — 1905 — Bd 17 — S. 891.
9 Савельев И.В., «Курс общей физики», том III, издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1967 г.
20 Гюрши Ф. «Введение в теорию групп», лекции, прочитанные в 1963 г. в Летней школе теоретической физики при Гренобльском университете, Лезуш, Франция.
21 Артамонов В.А,, Словохотов Ю.Л. «Группы и их приложения к физике, химии, кристаллографии», Москва, издательство «Академия», 2005 г.
22 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. «Основы теории групп», Москва, «Наука», 1982 г.
23 Любарский Г.Я., «Теория групп и ее применение в физике», Москва, издательство физико-математической литературы, 1958.
24 Хамермеш М., «Теория групп и ее применение к физическим проблемам», Москва, «Мир», 1966 г.
25 Холл М., «Теория групп», перевод с англ. Под ред. Калужнина Л.А., Москва, издательство иностранной литературы, 1962 г.
45 Cole E.A.B., «Subluminal and superluminal transformations in six-dimensional special relativity», Nuovo Cimento, B 44, 1978 г., p.157 - 66.
46 Lee A.R., Kalotas T.M. «On superluminal transformations», Il Nuovo Cimento, VoL. 41B, N. 2, 11 Ottobre 1977.
Хэштеги:
#Лоренц, #Lorentz, #преобразованияЛоренца, #Lorentztransformations, #тригонометрическиепреобразования, #Минковский, #Minkowski, #пространствоМинковского, #spaceMinkowski, #плоскостьМинковского, #planeMinkowski, #trigonometrictransformations, #СТО, #STR, #специальнаятеорияотносительности, #specialtheoryofrelativity, #инерциальныесистемыотсчета, #inertialreferencesystems, #сверхсветовой, #superluminal, #overlight, #тахион, #tachyon, #сверхсветовоедвижение, #superluminalmovement, #пределскоростисвета, #speedlimitoflight, #конусХевисайда, #coneHeaviside, #конусЧеренкова, #coneCherenkov, #формуласложенияскоростей, #formulaforaddingspeeds
Copyright © Платонов А.А. 2021 Все права защищены.