Сегодня будет много мультиков, так что берегите трафик!
В этой серии статей мы знакомимся с элементами теории хаоса и анализируем простую динамическую систему — шарик, прыгающий над подпружиненным столиком. Наряду с весьма предсказуемым поведением, эта система демонстрирует сложное хаотическое движение. Цель этих заметок не только полюбоваться на симпатичные картинки, но и увидеть какой бывает природа динамического хаоса, то есть, откуда он может взяться в полностью детерминированной динамической системе. А заодно, поупражняться в красивой и нетривиальной математике.
Мы с вами прошли по цепочке абстракций: Уравнения движения ⟶ траектории движения ⟶ фазовые траектории ⟶ сечение и отображение Пуанкаре ⟶ орбиты отображения Пуанкаре.
Таким образом, постепенно удаляясь от исходной системы дифференциальных уравнений движения, мы пришли к дискретному отображению
которое для заданной точки соударения шарика и столика возвращает следующую точку соударения. Технически это преобразование вычисляется через поиск точки пересечения параболы и синусоиды — физических траекторий шарика и столика, как показано на рисунке.
При этом решается трансцендентное алгебраическое уравнение, с которым прекрасно справляется метод Ньютона.
Последовательность точек, или орбита отображения, получается при многократном применении отображения P к какому-то начальному состоянию. В прошлый раз мы остановились на построении симпатичного примера семейства орбит отображения P для фиксированной энергии системы. Выглядит это семейство примерно так:
Все эти орбиты принадлежат сферической поверхности, которая определяется уравнением полной энергии системы в фазовом пространстве. Для системы с энергией E, радиус сферы будет равен √(2E + 1). Это, кстати, даёт нижнюю границу для возможной энергии, E = –1/2.
В силу закона сохранения энергии, какую бы точку на этой сфере мы ни выбрали, отображение P обязано отобразить её на эту же сферу. Это позволяет нам совершить ещё один шаг на пути повышения абстракции и перейти от сферы к плоскости, то есть, к внутренним координатам на сферической поверхности. Введя стандартные сферические координаты: широту θ и долготу φ, мы можем от отображения P, которое преобразует трёхмерные точки фазового пространства, перейти к преобразованию точек на сфере:
Это преобразование уже не имеет очевидного механического смысла, но работать с ним будет гораздо проще, поскольку оно преобразует двумерное пространство.
Строим карту
Для того чтобы построить координатную систему на сфере, следует определиться с экватором и нулевым меридианом. Для этого воспользуемся физическими симметриями нашей системы. Физики и математики помешаны на симметриях, и неспроста: это самые живучие свойства систем, которые проходят сквозь все абстракции.
Во-первых, наша механическая система описывается уравнениями, инвариантными относительно направления времени t ⟶ −t. Во-вторых, если мы обратим время вспять, и одновременно с этим произведём замену (ẋ, ẏ) ⟶ (−ẋ, −ẏ), то получим точно такую же орбиту.
В-третьих, при обмене импульсами во время удара, происходит замена (ẋ, ẏ) ⟶ (ẏ, ẋ). Если одновременно с ней мы сменим направление времени, то останемся на одной орбите, просто продолженной "из прошлого".
Фазовое пространство никак не связано направлением времени, зато в нём физические симметрии превращаются в геометрические. Наши две симметрии тоже имеют чудесное геометрическое представление: замене (ẋ, ẏ) ⟶ (−ẋ, −ẏ) соответствует зеркальная симметрия относительно плоскости ẋ = −ẏ, а замене (ẋ, ẏ) ⟶ (ẏ, ẋ) —зеркальная симметрия относительно плоскости ẋ = ẏ. Вот как выглядит семейство орбит с этими двумя плоскостями симметрии.
Теперь очевидно, что за экватор имеет смысл принять линию ẋ = ẏ (красную на рисунке), а за нулевой меридиан — линию ẋ = −ẏ (зелёную). Точке пересечения нулевого меридиана с экватором соответствует состояние системы в равновесии — шарик лежит на столике и оба покоятся.
Переход из фазовых координат в координаты на сфере, соответствующей энергии E, производится несложно:
Симметрия относительно экватора позволяет ограничиться анализом орбит только одного "полушария" сферы. В таком случае можно построить карту орбит либо в цилиндрической, либо в азимутальной проекции.
Стоит заметить, что на этих картах показаны только некоторые орбиты. На тех участках, что остались белыми какие-то орбиты тоже есть. Каждая точка на сфере принадлежит какой-то орбите, однако если попытаться показать их все, то выйдет невразумительная каша.
Интересная игрушка
Перед нами оказался занятный объект: отображение сферы саму на себя, про которое мы знаем только то, как оно вычисляется. Оно не похоже на функцию, его график нарисовать непросто, к тому же, как мы знаем, оно способно производить как порядок, так и хаос.
Главное преимущество отображения П над всеми предыдущими степенями абстракции состоит в том, что оно действует на полусфере, топологически эквивалентной диску — компактному объекту, который можно изобразить и увидеть целиком, не прибегая ни к каким ухищрениям. При этом, такое до предела упрощённое преобразование всё ещё содержит симметрии исходной физической системы и демонстрирует самую интригующую его особенность — способность порождать хаос.
Предлагаю пока без глубокого анализа поэкспериментировать с преобразованием П, чтобы почувствовать его свойства. Напомню, что для каждого значения полной энергии системы E однозначно определяется некоторая сфера в сечении Пуанкаре и отображение П на ней. Так что мы имеем дело с семейством отображений, параметризованных величиной E.
Эксперимент 1
А что если от отдельных точек соударений, которые мы рассматривали до этого, попробовать перейти ко всему диску целиком? Давайте посмотрим на то, как отображение П для разных энергий обходится с координатной сеткой в азимутальной проекции.
Несмотря на достаточно сложное нелинейное действие отображения, в этом эксперименте проявляется очень важное его свойство: оно непрерывно и сохраняет топологию пространства. Здесь нет противоречия с тем, что П дискретно во времени, смысл топологической непрерывности состоит в том, что малую окрестность любой точки П отображает в окрестность образа этой точки. В нашем эксперименте сохранение топологии проявляется в том, что координатные линии хоть и искривляются, но во-первых, нигде не разрываются, а во-вторых не образуют новых пересечений.
Всё это делает отображение П гомеоморфизмом, то есть, непрерывным отображением сферы саму на себя. Это важное свойство. На результаты этого преобразования, представленных в виде облака точек, мы уже насмотрелись. Точки образуют дискретное множество, которое непросто анализировать, в этом дискретном тумане теряется суть. Непрерывность позволит нам увидеть тонкие детали и выявить механизм возникновения хаоса из порядка.
Наш эксперимент продемонстрировал ещё одно важное свойство отображения П — его гладкость. Оно не только не производит разрывов в координатных линиях сетки, но и оставляет их гладкими кривыми, имеющими, по крайней мере, хорошие первые производные. А это значит, что к такому отображению применимы методы математического анализа: его можно дифференцировать, отыскивать особые точки, вычислять всевозможные локальные характеристики.
Эксперимент 2
Давайте посмотрим теперь на то, как непрерывное и гладкое отображение П порождает хаос. Зафиксируем значение энергии и будем применять к двум линиям координатной сетки преобразование П, повышая степень n.
Мы становимся свидетелями ключевого механизма в теории динамического хаоса — непрерывного перемешивания фазового пространства. Два множества точек, красные и синие оказываются перемешаны, при этом изначально близкие точки становятся далёкими, а удалённые — сближаются. Но при всём притом, преобразование умудряется оставаться непрерывным и гладким. Таким же свойством обладает развитая турбулентность на крупных масштабах.
Мы можем более детально взглянуть на то что делается с отдельными точками "внутри" перемешивания, плавно меняя фазу (угол ) начальных множеств.
Красота! А ведь это ещё не хаос, а просто сложное движение. В приведённом выше примере отображение П было применено всего 25 раз. Для изображения хаотических орбит в предыдущих иллюстрациях, использовались десятки тысяч итераций!
Именно перемешивание фазового пространства ответственно за чувствительность к начальным условиям, которая приводит к тому, что при попытке рассчитать движение системы из двух очень близких начальных условий, мы быстро обнаружим, что наши решения, похожие вначале, станут отличаться всё сильнее и сильнее, пока разойдутся окончательно. Подробнее мы поговорим об этом позже, когда разберёмся с тем откуда это перемешивание берётся в нашей системе.
Для сравнения полезно взглянуть на то, как обстоят дела при малых энергиях на которых хаоса мы не наблюдали.
После 25 итераций по линиям бежит характерная рябь, но перемешивания не происходит. Конечно, после сотни применений отображения П линия сильно вытянется и кое где закрутится вихрями, но опыт построения орбит из десятков тысяч итераций (см. предыдущую статью) показывает, что тем не менее, все орбиты остаются стабильными. Нам предстоит понять каким образом происходит качественный скачок (бифуркация), превращающий рябь и вихри в настоящий хаос.
Эксперимент 3
Напоследок, давайте выясним, как под действием преобразования формируются отдельные орбиты в хаотическом режиме (E = 1). Для этого, как и прежде, выстроим ряд точек вдоль нулевого меридиана, а потом будем накапливать их отображения.
Обратите внимание на то, как по мере "разматывания" первоначальной линии, точки сгущаются вокруг некоторых центов. Об их смысле и свойствах мы поговорим в следующий раз.
Продолжение здесь:
