Сегодня не будет формул, зато мы сделаем неожиданный поворот в нашем сюжете и от динамики инвариантных торов обратимся к облакам и развевающемуся флагу.
В этой серии статей мы стараемся сделать наглядными некоторые результаты теории хаоса, а именно переход к гамильтоновому хаосу по сценарию Рюэля-Такенса. В качестве рабочей модели мы рассмотрели абсолютно упругие соударения шарика и подпружиненного столика, происходящие в поле силы тяжести.
В прошлой статье мы получили представление о том, как устроено фазовое пространство нашей задачи. От отдельных физических траекторий мы перешли к фазовым, потом к сечению Пуанкаре, и, наконец, разделили всё фазовое пространство расслоением компактными инвариантными многообразиями: замкнутыми петлями и КАМ-торами. В сечении они выглядят достаточно симпатично:
"Инвариантный" означает — неизменный. В нашем случае, речь идёт о том, что под действием уравнений движения одни точки этих многообразий переходят в другие, но при этом само многообразие (тор или петля) не изменяется и отображается уравнениями движения в себя. Таким образом, мы можем не заботиться о начальных условиях и рассматривать судьбу и свойства инвариантных многообразий, как неделимых объектов. То же относится и к орбитам отображения Пуанкаре: неподвижным точкам и сечениям КАМ-торов.
Как мы увидели в прошлый раз, в середине любого инвариантного тора "живёт" полюс, вокруг которого происходит вращение фазового пространства. Это значит, что торы, плотно заполняющие это пространство, сами тоже должны вращаться, оставаясь при этом на месте.
Как видим, под действием отображения Пуанкаре, точки на торах, действительно вращаются. Причём, обратите внимание, на каждом торе скорость движения точек своя, немного отличающаяся от скорости движения на соседнем торе. Это важное наблюдение подводит нас к неожиданной аналогии с движением сплошной среды.
В течении жидкости или газа на дозвуковых скоростях важную роль играет неразрывность среды. Она приводит к непрерывности и гладкости поля скоростей: у частиц, движущихся вдоль близких линий тока скорости тоже должны быть близки, а в пределе они должны гладко приходить друг к другу.
Если по какой-то причине наблюдается разрыв в скоростях соседних линий тока, то течение становится неустойчивым. При этом на границе развиваются волны, быстро превращающиеся в дорожку из вихрей, которые вращаясь, сглаживают разрыв, как подшипники. Этот механизм называется неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца и наблюдается в жидкостях и газах
Отображение Пуанкаре для нашей задачи имеет мало общего с гидродинамическим потоком: в нём нет инерции или давления. Объединяет эти два объекта только непрерывность поля скоростей и малые потери энергии (гамильтоновость). Эти ключевые характеристики приводят к тому, что они способны порождать подобные геометрические структуры.
Присмотритесь ещё раз к полю скоростей, которые образуют инвариантные торы, а именно, к окрестностям неподвижных гиперболических точек — движение орбит по разные стороны от седла происходит в противоположные стороны:
Более того, это движение приводит к растяжению и сжатию пространства вдоль собственных векторов, которое мы наблюдали в прошлый раз. В то же время, движение вокруг полюсов четвёртого порядка согласуется с общим движением потока и подобно вихрям Гельмгольца выполняет роль подшипников, вращающихся без проскальзывания между внутренней областью, вращающейся по часовой стрелке, и внешней, которая вращается в противоположном направлении. Получается, что по какой-то причине в поле скоростей инвариантных торов образуется разрыв. Но поскольку непрерывность — ключевое свойство этого поля, то в нём формируется система из чередующихся полюсов и седловых точек, обеспечивающих сохранение этого свойства.
Теперь ещё раз присмотритесь к тому, как развивается неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и вы без труда найдёте в течении невидимые седловые точки, которые можно распознать по гиперболическому характеру поля скоростей вокруг них.
Ещё раз подчеркну: аэродинамические вихревые дорожки и инвариантные торы отображения Пуанкаре — явления абсолютно разной природы. Первое может служить аналогией второму только вследствие общих свойств гладких непрерывных преобразований. Это хорошо известное явление конвергенции, когда разные процессы приводят к одинаковым геометрическим формам. Ровно такие же паттерны и соображения вы можете встретить в теории полей, в решениях однородных дифференциальных уравнений, в теории аналитических функций, в общей топологии, везде, где непрерывность играет существенную роль. В этом и состоит очарование и сила математики!
Но что же остановило вращение инвариантных торов? И почему это привело к образованию циклов именно четвëртого порядка?
Об этом мы поговорим в следующий раз, когда перечислим все циклы отображения, введем их важную характеристику — число вращения и совершим ещё один неожиданный скачок в нашем повествовании, обратившись к теории чисел.
Сходство динамики инвариантных торов и гидродинамических вихрей, естественно привлекло внимание механиков, исследовавших явление турбулентности и переход от ламинарного (слоистого) течения, в котором силы вязкости существенно превышают силы инерции, к когерентным структурам (крупных вихревым дорожкам) и потом к развитой турбулентности и к хаосу, когда система становится гамильтоновой и вязким трением на крупных масштабах можно пренебречь. Одними из первых, кто решил, что в динамике инвариантных торов можно найти сценарий перехода были А. Пуанкаре, Л. Ландау и А. Колмогоров. Однако позже, с дальнейшим развитием теории хаоса, стало ясно, что динамика инвариантных многообразий может служить лишь триггером к более сложным динамическим процессам — сценарию Рюэля и Такенса, диффузии Арнольда и другим явлениям.
Продолжение здесь:
