В качестве иллюстрации применения метода Гаусса для решения олимпиадных задач и задач повышенной сложности в начальной школе рассмотрим задачу, предложенной к решению участникам олимпиады Сириус (5 класс). Методика применения метода Гаусса к подобным задачам описана в отдельной статье.
Текст задачи: «Старательная Маша выписала в ряд все натуральные числа от 372 до 506 включительно. Затем она вычислила две суммы: сначала всех нечетных чисел в этом ряду, а затем – всех четных чисел. После этого она из большей суммы вычла меньшую. Какой результат она получила?»
Эту задачу можно решить несколькими способами. Разумеется, самым длинным способом, описанным в условии, мы решать не будем (т. е. мы не будем выписывать все числа, чтобы найти суммы чётных и нечётных чисел). Сразу отметим еще один очевидный факт: в задании не сказано прямо из какой суммы какую сумму нужно вычесть – из суммы нечётных чисел сумму чётных или наоборот. Поскольку в анализируемом числовом ряду чётных чисел на одно больше нечётных и наибольшим числом является именно чётное число, то и сумма чётных чисел будет больше суммы нечётных чисел, т. е. ответом к данной задаче будет разность между суммой чётных и суммой нечётных чисел.
Способ 1. Определим сумму чётных чисел и сумму нечетных чисел методом Гаусса. Первое чётное число в ряду 372, последнее 506. Всего в этом ряду 506 – 372 +1 = 135 чисел, из них 134/2+1 = 68 чётных (поскольку чётные числа чередуются с нечётными, а числовой ряд начинается и оканчивается чётными числами, то на 2 делим именно 134, а потом прибавляем ещё одно чётное число). Следовательно, число пар чётных чисел равно 68/2 = 34. Если расположить чётные числа на «нити», то получится так (рисунок 1).
Сумма чисел в каждой паре равна 878 (рисунок 2).
Поскольку, как мы выяснили ранее, таких пар в рассматриваемом числовом ряду 34, то сумма чётных чисел равна 878 х 34 = 29 852.
Первое нечётное число в ряду 373, последнее 505. Аналогично рассуждениям выше в анализируемом числовом ряду 67 нечётных чисел. Очевидно, что мы имеем 66/2 = 33 пары чисел + одно число без пары. Вычислить сумму нечётных чисел можно двумя способами: либо мы располагаем числа с одним числом в «точке перегиба» как на рисунке 3, либо «перетягиваем» последнее число, чтобы число без пары было не посередине (рисунок 4).
В первом случае необходимо определить какое число находится в точке перегиба. Если мы имеем 33 пары чисел без учёта одиночного числа, очевидно, что посредине будет находиться тридцать четвертое по счету число. Для его определения умножим 33 на 2 (каждое последующее число в данной последовательности больше предыдущего на 2) и прибавим 373 (первое число в последовательности). Таким образом число посредине равно 373 + 33 х 2 = 439 (рисунок 5).
Сумма нечётных чисел равна 878 х 33 + 439 = 29 413 (в первом случае) или 876 х 33 + 505 = 29 413 (во втором случае). Очевидно, что расчёт во втором случае (когда мы «перетянули числа» и не определяли число в точке перегиба) гораздо проще.
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи нам остается только найти разность между суммой чётных и чисел и суммой нечётных чисел: 29 852 - 29 413 = 439.
Способ 2. Для того, чтобы из одной суммы чисел вычесть другую сумму чисел, вовсе необязательно вычислять эти суммы, достаточно найти разность между слагаемыми первой суммы и слагаемыми второй суммы, а результаты сложить. Иными словами, (a + b + c + d) – (e + f + g + h) = (a – e) + (b – f) + (c – g) + (d – h).
Не будем разделять числа на чётные и нечётные и определять их суммы по отдельности. Расположим все числа на нашей «нити» (рисунок 6).
Мы видим, что пары четных и нечётных чисел чередуются, а сумма каждой пары равна 878. Поскольку нам необходимо определить разность между суммой чётных и нечётных чисел, определим разности между парами чётных и нечётных чисел. Очевидно, что разность между парой чётных и парой нечётных чисел равна нулю. Остаётся только определить количество таких пар.
Как мы уже выяснили ранее всего в этом ряду 506 – 372 +1 = 135 чисел, следовательно, количество пар равно 134 / 2 = 67 плюс одно число без пары. Нечётное количество пар чисел означает, что самая верхняя пара чисел будет именно пара чётных чисел, а число посредине будет шестьдесят восьмым по счёту и будет нечётным (рисунок 7).
Определим число посредине: 372 + 1 х 67 = 439. Следовательно, разницей между суммой чётных и нечётных чисел будет разность между верхней парой чётных чисел и числом 439, т. е. 878 – 439 = 439.
Способ 3. Расположим все числа в числовом ряду на «нити» одно за другим (рисунок 8).
Руководствуясь принципом, описанном в способе №2, найдем разности между каждым чётным и каждым нечётным числом, находящимся слева от него (рисунок 9).
Поскольку в ряду 135 чисел, то количество пар чисел равно 67 плюс одно число без пары. В данном случае будем считать пары с конца числового ряда, а свободное число равно 372. Таким образом разность между всеми чётными и нечётными числами равна 67 х 1 + 372 = 439.
В данной статье были рассмотрены три различные способа решения олимпиадной задачи на арифметическую прогрессию для учащихся пятых классов. В статье приведено моё личное мнение, ни в коем случае не претендую на истину в последней инстанции. Если у Вас есть замечания по существу или интересные примеры и задачки из школьной программы, пожалуйста, пишите в комментариях. Спасибо за Ваше время.
