Иногда серьёзные ошибки при доказательствах совершаются тогда, когда в рассуждении производится неявное допущение. То есть допущение, не указанное expressis verbis, но присутствующее в качестве оснований в выводе. Часто для обнаружении по крайней мере недостаточности доказательства, а часто и просто его неверности, бывает необходимо найти то, что неявно в нём допускается.
Вот первый пример, из которого понятно, что...
Пусть N — наибольшее целое число. Если N>1, а К=N², то К>N, что противоречит определению N.
Следовательно, N=1. То есть 1 — наибольшее целое число. О как! (Это так называемый парадокс Перрона)
А вот если записать так, то всё встанет на свои места:
(((∃N∀m((N∈ℤ)∧(m∈ℤ)∧(N>1)∧(N⩾m))) ⇒ ((К=N²) ⇒ (К>N))) ⇒ (∃N∀m ((N∈ℤ)∧(m∈ℤ)∧(N>1)∧(N⩾m)))) = ƒ),
где ƒ — значение «ложь»,
то есть всё встало на свои места, потому что неявное ранее предположение ∃N (N∈ℤ) стало явным. Правда, строгости ради надо ещё записать, что ∃K (К∈ℤ)∧(К=N²).
Второй такой же пример: теорема Хаусдорфа-Банаха-Тарского:
В этом случае при доказательстве теоремы делается неявное, не проговоренное прямым текстом, допущение, что выполняется аксиома выбора (в юридической интерпретации, приведённой в статье — право дробимо или по субъектам или по объектам). Если эти допущения выписать явно, то можно заметить, что в случае, когда они не выполняются, указанная теорема не имеет доказательства. Всякий легко может убедиться в этом сам.
Вообще говоря, это то, на чём спотыкаются во всех без исключения научных дисциплинах. Например, гипотеза Сепира-Уорфа в лингвистике вообще может выполнятся только и исключительно в том случае, когда мы имеем дело с субъектами, коммуницирующими с помощью некоторого языка, хотя, заметим, что утверждение, что всякая коммуникация есть коммуникация непременно языковая совершенно небесспорно и само требует доказательства. Но такое допущение как при доказывании этой гипотезы, так и при её опровержении часто-густо прямо не проговаривается.
Тут же я предлагаю проделать такой анализ доказательства, но уже в области юриспруденции.
Олимпиад Соломонович Иоффе, в одной из своих работ обосновал свою точку зрения о прекращении обязательства истечением срока исковой давности, хотя прямо такого основания для прекращения обязательства в законодательстве и не было.
Сделал он это так.
Предположим, что существует некоторое право за пределами срока исковой давности.
1. Законом установлен срок на судебную защиту нарушенного права, в том числе и права кредитора. За его пределами суд отказывает в защите исключительно на основании истечения этого срока.
2. Существующее право подлежит судебной защите.
3. Право, срок судебной защиты по которому истёк, не подлежит судебной защите.
Следовательно, мы пришли к противоречию, предположив, что право может существовать за пределами срока исковой давности. Следовательно, это право прекращается именно истечением срока исковой давности, а следовательно, прекращается и всё обязательство, которое из него образовалось.
ЧТД
Вопрос:
в чём ошибся классик?
