„Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит“.
Михайло Васильевич Ломоносов
Однажды в комментариях в журнале, который у меня был до 2014 года, я натолкнулся на некоторое очевидное для меня, но не очевидное для собеседника непонимание. Речь зашла о некоем ироническом, впрочем, впустую ироническом, ироническом из всё того же непонимания, стихотворении на украинском языке Степана Олийныка, впрочем, стихотворение это сильно наталкивало на мысль как о Мартышке и очках, так и о Свинье под Дубом и от иронии этого стишка за версту несло воинствующим невежеством, как от небезызвестного Глеба Капустина. Я заметил, что вообще говоря, в математике существует и весьма известен парадокс Банаха-Тарского, который гласит некоторую совершенно неочевидную, прямо скажем, даже контрочевидную вещь, последовательно и строго следующую из другого утверждения, которое как раз совершенно очевидно.
Изложу этот парадокс коротко чуть дальше, а сначала введём некоторые понятия.
Во-первых, представим себе, что у нас есть несколько непустых непересекающихся множеств. Для начала — конечное число.
Для наглядности: учебные группы в учебном заведении.
Есть утверждение, что всегда можно построить такое множество, — назовём его множеством представителей, — которое будет иметь с каждым исходным множеством один и только один общий элемент.
Если в каждой группе есть староста, то группа, состоящая из старост, и есть то самое множество представителей.
Если в каждой группе есть комсорг, то группа, состоящая из комсоргов, — кто такие комсорги, вспомните сами, — также будет множеством представителей.
Если количество исходных множеств конечно, то утверждение, что по крайней мере одно множество представителей всегда можно построить, вполне очевидно и вполне конструктивно.
Но что произойдёт, если мы будем рассматривать не конечное, а именно бесконечное число таких множеств? Можно ли утверждать, что и в этом случае всегда существует множество представителей? Да, оно окажется бесконечным, если окажется существующим, но что с того? Правда же — вполне очевидно, что такое множество всегда существует?
Однако вот осторожнее с так называемой очевидностью. Математика уже потому ум в порядок приводит, что заставляет не оперировать такими привлекательными понятиями как очевидность. Или во всяком случае заставляет отдавать себе отчёт в том, что ты оперируешь именно таким нестрогим, хоть и уютным, понятием.
Всё дело в том, что при совершеннейшей наглядности и «очевидности» указанного утверждения, оно, строго говоря, недоказуемо и представляет собою независимую аксиому. Иными словами: придерживаться ли такой вот «очевидности» или не придерживаться — вопрос вкуса, а точнее — выбора типа математики.
Но мы с вами люди здравые и практические и будем придерживаться столь очевидного суждения. Только один момент: честно и последовательно придерживаться! И не пугаться тех мест, в которые нас заведёт эта самая «очевидность». А заведёт она нас ни много ни мало как именно в парадокс Банаха-Тарского. Строго заведёт, прямой неукоснительно логической дорожкой, описывать которую я сейчас не буду, так как её описание носит уж совсем специальный характер. (Замечу, что теорема Банаха-Тарского или, как её ещё называют, Хаусдорфа-Банаха-Тарского доказывается, в общем-то не так уж сложно, но не так уж сложно лишь при известном навыке работы с сугубо математическими понятиями, а навык этот не врождённый, его надо вырабатывать). Так что придётся в строгость поверить. Или прочесть и продраться сквозь доказательство самому, кстати, тоже весьма небесполезное занятие.
Парадокс Банаха-Тарского гласит:
Трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Понятно, что тут надо пояснить ещё, что такое «равносоставленный».
Тело называют в евклидовом привычном нам пространстве равносоставленным другому телу, если одно из них можно разрезать на конечное число кусочков и составить из этих кусочков второе.
Иными словами строго доказывается диковатое на вид утверждение, что если есть трёхмерный шар, то существует такое разрезание этого шара на кусочки, — причём можно даже уточнить, что кусочков должно быть не менее пяти, это связано со свойством трёхмерного пространства, — что из этих самых кусочков можно составить два шара, совершенно ничем не отличающихся от исходного.
Уже всё вовсе не очевидно, не так ли? Уже начинает попахивать мистикой и чертовщиной! Уже нам не верится, уже мы полагаем, что нас надувают. Уже мне предлагают даже продемонстрировать такое разрезание на арбузе. Мне были понятны и понятны вполне ошибки тех, кто высказывал претензии с арбузами. Но одно дело понимать, а другое — объяснить человеку, во-первых, настроенному точь-в-точь как С. Олийнык, то есть по принципу: если сам персты не вложу, то рассуждению не поверю, а во-вторых, знающему математику по такой наслышке, которой лучше бы вообще не было. Ибо та профанация математики, которую преподают юристам, скорее вредит, нежели приносит пользу. Тут лучше вообще не знать, чем знать такое безобразие, которое им преподают, и свято при этом верить, что это безобразие и мракобесие и есть математика.
Господа юристы, заявляю вам совершенно ответственно: Вам вместо математики поставляют такую гадость, такой суррогат, что им можно только мозги отравить. Не употребляйте его никогда! А математики, которые глядят на это всё и «падаютпацтолржутнемагут» вовсе не снобы, и основание для потехи и покручивания пальцем у виска так-таки имеют.
«Стоп! — тем не менее, сказал я себе. — Ну вот ты-то, мил человек, и математик и юрист. И на образование математическое уж тебе-то жаловаться грех, ибо учился ты у действительно талантливых и выдающихся людей! И понятиями правовой объективности владеешь. И практика какая-никакая юридическая имеется… Так отчего же ты, друг ситный, не желаешь стать переводчиком с одного языка на другой? »
Я задумался. И, знаете ли, получилось. Получилось же то, что в реальности, — и это-то как раз вызвало у меня огромное удивление! — юристы весьма и весьма часто имеют дело как раз с ситуациями, совершенно схожими с парадоксом Банаха-Тарского, как с совершенно обыденными вещами, даже не считая это чем-то парадоксальным.
Только что не всегда это замечают.
Я изложу иллюстрацию. Но сначала надо вернуться к самому парадоксу.
Вдумываясь в формулировку парадокса теоремы Банаха-Тарского, можно практически сразу прийти к мысли, что те части, на которые разрезают исходный шар, должны быть неизмеримыми по любой аддитивной мере. Не буду перегружать читателей введением понятия аддитивной меры, а приведу просто примеры такой меры: площадь, объём, ньютоновская масса, но замечу только, что если только части измеримы, то действительно двух шаров из них не составишь, поскольку при этом нарушится такое свойство аддитивной меры как аддитивность. А последняя именно постулируется для всякой аддитивной меры. Говоря иначе: кусочки, на которые надо резать шар должны быть таковы, чтобы не иметь аддитивной меры. Ни-ка-кой!
И тут я вспомнил об ещё одном любопытном доказательстве, связанном со всё той же самой «очевидной» аксиомой выбора. Это построение Виталѝ доказательства существования множеств, которые являются неизмеримыми по Лебегу. Одновременно я вспомнил и об эквивалентности аксиомы выбора, скажем, «теореме» Цермело или «лемме» Цорна. И тогда я понял, что на самом-то деле любой юрист каждый Божий день сталкивается именно с неизмеримыми объектами, а значит, он постоянно наталкивается и даже пользуется как чем-то привычным до затасканности, до полного незамечания тем, чем только что изумился и чему не поверил, тем, что для него в другой, строгой формулировке неочевидно и парадоксально.
Каждый день юрист имеет дело с правом. А ведь право как раз вещь аддитивно неизмеримая! Для простоты покажу.
Пусть у меня есть право пользоваться вещью ω, пусть некто передал мне право пользоваться вещью ω.
Вот из этих двух прав возникло не два, а только одно право, как-то: по прежнему моё право пользоваться вещью ω.
Правда, напоминает некую обратную формулировку парадокса Банаха-Тарского? Но при этом совершенно не изумляет юристов.
Ну да, я отдаю себе отчёт, что в парадоксе Банаха-Тарского говорится о том, что из одного делают два, а я только что показал как два сливаются в одно.
А теперь произведём окончательное построение.
Пусть А имеет право знать информацию ψ и свободно распоряжаться ею и любой её частью.
Пусть эта информация ψ состоит из двух частей: μ и ρ.
Пусть А передал B право знать и распоряжаться свободно информацией μ и любой её частью.
Пусть тот же А передал право С знать и распоряжаться свободно информацией ρ и любой её частью.
Пусть В передал D право знать и свободно распоряжаться информацией μ и любой её частью.
Пусть С передал D право знать и свободно распоряжаться информацией ρ и любой её частью.
Ясно, что в конечном итоге появляются уже два совершенно одинаковых носителя и распорядителя информацией ψ и любой её частью, а именно: А и D.
QED.
И заметим, что ни один юрист по этому странному поводу не выразит недоумения, не так ли? Но что же это как не обыкновенная формулировка, родственная именно тому самому парадоксу, который поразил воображение юриста? А всё дело именно в том, что такая базовая для любого юриста штука как право действительно аддитивно неизмерима. А аксиомой выбора как раз юристы пользуются, сами того не осознавая, сплошь и рядом.
И можете говорить теперь что угодно, а юриспруденция-таки именно претендует на изучение объективностей и обладает колоссальным аппаратом абстракций, а стало быть, является не толкованием маловразумительных и немаловразумительных выделений того или иного законодателя, не набором текстов, а именно наукой. И отношение к ней должно быть надлежащее. Иначе, — поверьте! — всем не поздоровится.