Всегда удивляет красивая цифровая закономерность в таблице умножения на 9:
И именно благодаря этому, наверное, появился алгоритм умножения на 9 на пальцах рук: держим руки перед собой ладошками к себе, загибаем нужный палец (множитель), считываем десятки (слева) единицы (справа) и получаем результат. Наши пальцы в этом случае выступают в роли счётных палочек, которые всегда при нас. В Интернете много материала на эту тему.
Оказывается такую же красивую закономерность в цифрах можно наблюдать и при умножении на 8, и при умножении на 7, и при умножении на 6 ... !!!
Давайте посмотрим на следующую таблицу:
Умножение на 9 - этот столбик нам уже знаком.
Умножение на 8, и на 7, и на 6 ... - циферки также бегут вверх и вниз красиво и последовательно! Но ... каждый столбик в своей системе счисления (смотрите самую верхнюю строчку, там квадратик с индексом указывает в какой системе счисления столбик):
умножение на 9 - в привычной нам десятичной системе счисления,
умножение на 8 - в девятеричной,
умножение на 7 - в восьмеричной,
Умножение на 6 - в семеричной и т.д.
Чувствуете закономерность?! (9 -> 10, 8 -> 9, 7 -> 8, 6 -> 7)
Вот такая здесь магия цифр: все эти табличные значения, несмотря на то, что они в различных системах счисления, можно вычислить по одной и той же формуле:
m * n = 10 * ( n - 1 ) + ( m - ( n - 1 ) )
Не стоит напрягаться и долго рассматривать эту формулу. Вот как мы находим значения по этой формуле, просто осмыслите манипуляции с цифрами:
(с девяткой см. выше на самой первой картинке)
Важно: на первом месте должен стоять больший множитель (это облегчает вычисления)!
Конечно, нас не устраивает то, что 8 * 4 = 35, хотя с учётом девятеричной системы счисления всё правильно. Переведём девятеричное число 35 в десятичное: 3 * 9 +5 = 32 !!!
Аналогично можно сказать и про другие примеры:
7 * 6 = 52 (5 * 8 + 2 = 42 !!!)
6 * 6 = 51 (5 * 7 + 1 = 36 !!!)
Не пугайтесь систем счисления и формул! Вам в конечном итоге они и не понадобятся! Так вот чтобы разрулить эту ситуацию и всё привести к привычной нам десятичной системе счисления нам понадобится
В формуле есть интересное вычитаемое: ( n - 1 ) * ( 9 - m ), которое как раз и корректирует ответ из любой системы счисления в десятичную. Заметим, что в случае с девяткой (m=9) этот довесок равен нулю.
Вы, наверное, уже догадались, что на пальцах можно представить не только умножение на 9. Здесь всё точно также как и с девяткой, только для умножения на 8 нужно оставить 9 пальчиков! Поэтому большой палец правой руки загибаем (один загнутый палец - на картинках 1 голубым цветом), он работать не будет, но в вычислениях будет помогать! При умножении на 8 мы всё делаем также как и при умножении на 9, но от считанного результата отнимаем количество десятков (количество десятков показано зелёным цветом):
Для умножения на 7 нужно оставить 8 пальчиков! Поэтому большой и указательный пальцы правой руки загибаем (два загнутых пальца - на картинках 2 голубым цветом), они работать не будут, но в вычислениях будут помогать! При умножении на 7 мы всё делаем также как и при умножении на 9, но от считанного результата отнимаем удвоенное количество десятков (количество десятков показано зелёным цветом):
Для умножения на 6 нужно оставить 7 пальчиков! Поэтому большой, указательный и средний пальцы правой руки загибаем (три загнутых пальца - на картинках 3 голубым цветом), они работать не будут, но в вычислениях будут помогать! При умножении на 7 мы всё делаем также как и при умножении на 9, но от считанного результата отнимаем утроенное количество десятков (количество десятков показано зелёным цветом):
Получилась красивая интерпретация таблицы умножения на пальчиках двух рук!
А сейчас всё то же самое. Только без рук! И без формул! Лишь "игра" цифр! Лишь манипуляции с цифрами! Лишь магия цифр! Итак способ 2:
В случае с девяткой правильный результат получается уже до окончательного вычитания.
Для сравнения здесь же ещё раз опубликуем способ 1 из первой части
Всё-таки сложение легче вычитания, поэтому способ 1, наверное, предпочтительнее.
Читайте также на этом канале:
Сложение и вычитание через десяток.
Умножение многозначных чисел столбиком - альтернативный способ оформления.