Вместо эпиграфа:
Науки делятся на естественные, неестественные и противоестественные.
Лев Ландау. Источник
Внимание! Прежде, чем читать дальше, прочтите Необходимое предуведомление.
Два источника
1. Статья
долго мозолила мне глаза, хотелось прокомментировать, но автор закрыл доступ к комментам: а то вдруг зайдёт бомж с улицы и примется высказывать свое просвещённое мнение.
Disclaimer. Я ничего не знаю об этих философах, кроме того, что написано в этой статье. Ссылок в статье, чтобы можно было познакомиться с мыслями авторов в оригинале, там просто нет.
Автор статьи — печально известный Математика не для всех, который берётся писать о математике и суммировать ряды, не владея понятием сходимости ряда. Уже поэтому я насторожился.
Но не беда! Я ведь собрался просто изложить Свои Мысли.
2. Кроме того, к теме об идеальных объектах в математике по касательной прикоснулась моя статья
Ну вот, так уж слеглось, что надо высказаться подробнее. Как обычно, без всякой жалости :-))
Начнём со статьи о философах.
Квайн и Патнэм обратили внимание на то, что математика играет ключевую роль в естественных науках.
Надо же! А мужики-то не знают!
математические объекты на самом деле существуют? Именно это утверждает аргумент Квайна–Патнэма, один из самых влиятельных тезисов в философии математики.
Этот аргумент был предложен двумя выдающимися философами — Уиллардом Ван Орманом Квайном и Хилари Патнэмом. Их идея заключается в том, что математика не просто удобный инструмент для описания мира, а неотъемлемая часть нашего научного понимания реальности. Если мы принимаем научные теории как истинные, то должны признать и существование математических объектов, которые в них используются.
математика не просто удобный инструмент для описания мира, а неотъемлемая часть нашего научного понимания реальности. Это ж сколько лет надо получать философское образование, чтобы заметить такую очевидную вещь?!
Если мы принимаем научные теории как истинные, то должны признать и существование математических объектов, которые в них используются. Истинность и существование это что, синонимы? Нет?
Когда представители противоестественной науки берутся выносить суждения о науках естественных или неестественной — это туши свет, бросай гранату.
Изначальная проблема философов — это то, что они рассуждают о словах, не договорившись предварительно об их смысле. (Не буду вдаваться в подробные пояснения, но, на мой взгляд, это неизбежная трудность, от которой никуда не деться.) Вот почему философствование не является частью науки. Наука, она не о словах, а о смыслах.
Как-то в компании математиков за рюмкой чая кто-то с удивлением заметил: "Стоит только собраться компании математиков, так они начинают о чём-то философствовать". На что я заметил: "Да, но они не публикуют статьи об этом." Имел громкий успех.
Вот теперь сосредоточим своё внимание на одном слове, ключевом для обсуждаемой статьи. Это слово —
существование
математические объекты на самом деле существуют
Здесь два неопределённых понятия: существуют и самое дело.
Существует ли наука математика? Странный вопрос! Есть учебники, монографии, научные статьи... Так что да!
Паранауки тоже как-будто есть, тексты ведь существуют. Но есть разница.
Доказанное и опубликованное грамотным математиком понятно и достоверно для другого грамотного математика, читающего публикацию первого. А если я при чтении что-то недопонял, то могу обратиться, например, к автору за пояснением. И льщу себе надеждой, что я смогу более подробное пояснение понять и потому признать справедливость утверждений.
Математика как система знаний и область интеллектуальной деятельности, очевидно, существует объективно.
В паранауках это не так. Например, автора Честная История Русов и slaves не понимает никто :-). О нём можно почитать там, там и там, и не только.
Существование объекта. Для математики это просто. Это свобода от противоречия. Если, рассуждая о математическом объекте, мы не приходим к противоречию (например, что какое-то целое число чётно и в то же время нечётно), то объект существует. Вот почему проблема непротиворечивости аксиоматических теорий вызывает такой интерес. Если обнаружится противоречие, то, выражаясь в манере одной блогерши, это КРАХ! теории.
На самом деле непротиворечивость аксиоматической теории и непротиворечивость рассматриваемого в ней объекта — вещи разные. Именно противоречие, выведенное из предположения о существовании объекта, доказывает его (объекта) невозможность. Хорошо известный пример: если предположить существование рационального числа m/n (m и n целые), квадрат которого равен 2, то выводится противоречие; следовательно, такого рационального числа не существует.
Существуют ли математические объекты "в натуре"? Натуральные числа
А вот это уже сложный вопрос. Возьмём, к примеру, натуральные числа. В пределах до десяти. Вот у меня на столе 7 камешков. Так что число 7 существует, как характеристика некоторых реально существующих совокупностей штук вещей.
А вот эта крошечка, её считать за камешек или нет? Если считать, то уже 8. Так 7 или 8? Оказывается, это зависит от волюнтаристского решения, что считать камешками, а что пылью. То есть понятие количества камешков, получается, субъективно. Так существует "реально" число (количество) как характеристика совокупности вещей или нет? И что значит "существует"?
Дальше — хуже. Когда мы говорим о количестве, оно должно быть обозримо. Если кто-то захочет узнать количество песчинок в пустыне, ему жизни не хватит их пересчитать. Тем не менее, мы считаем, что целое число, выражающее такое количество, существует. Хотя никогда не узнаем, какое оно.
Возьмём число 300!. Напомню, это произведение всех целых чисел от 1 до 300. Это ОГРОМНОЕ число! Одних только нулей в конце его десятичной записи 74 штуки (как это посчитать). А всего цифр 615.
А теперь прибавьте к этому числу, или отнимите от него одну единицу. Да хоть тысячу! Что-нибудь изменится? Да, количество нулей изменится резко. А само число, как количество? Практически то же самое.
А теперь предложите мне, где "в натуре" кончаются натуральные числа и начинаются охренительные ой! просто жуткие количества! А вы уверены, что два таких предложения от разных людей будут одинаковы?
А с точки зрения чистой математики, раз уж мы приняли правила обращения с натуральными числами — в виде аксиом и теорем —, то все такие количества выражаются натуральными числами, которые — таки да! — существуют.
Существуют ли математические объекты "на самом деле"? Иррациональные числа
Здесь будут "более философские аспекты" по поводу моей старой статьи
и указанного там PDF-документа.
Если ограничиться числами небольшими, то идеальными объектами являются иррациональные числа. Они не существуют "в натуре". В приложениях мы всегда записываем результат измерения конечной последовательностью цифр. Такие выражения, как π, е, √2, sin 1, это не записи чисел, а указание на алгоритм, как получить рациональное число, достаточно точно приближающее заданное иррациональное. Без такой замены на рациональное мы не можем даже оценить, насколько число мало или велико! Пифагорейцы признавали только рациональные числа как отношения целых. Открытие ими того печального факта, что диагональ единичного квадрата не выражается рациональным числом, привело их к странному — с современной точки зрения — решению не считать геометрические величины числами. История понятия величины (которое впоследствии стало понятием действительного числа) описана в статье Википедии.
По поводу √2 см. мою статью «Как получить действительные числа из рациональных», §3.
Это общая математическая идея. Если есть последовательность объектов, ведущая себя как сходящаяся (критерий Коши), но предельного объекта (пока) не имеющая, то мы строим идеальный объект, являющийся недостающим пределом. В результате пространство объектов (в данном примере чисел) оказывается пополненным. В полном пространстве можно решать задачи, которые иначе не решаются.
Пример, известный из школы, это существование и нахождение точки, в которой функция имеет наилучшее (наибольшее) значение. Если решение оказывается иррациональным (как, например, π/4), то оно "не существует реально", но, тем не менее, полезно в приложениях. Потому что достаточно продвинутый член последовательности "реальных" объектов (рациональных чисел), пределом которой является интересующий нас идеальный объект (π/4) представляет этот идеальный объект со сколь угодно хорошей для приложений точностью. (π/4 ≈ 0,8; π/4 ≈ 0,785; π/4 ≈ 0,785398; π/4 ≈ 0,785398163... выбирайте, какая погрешность для вас достаточно мала.)
Много способов получения числа π как предела последовательности (суммы ряда) приведено в статье Википедии Число π.
Если есть желание, то на этом основании можно объявить иррациональные числа "объективно существующими". В самом деле, все образованные люди одинаково знают, что √2 ≈ 1,4142. А некоторые даже знают, что делать, если нужна бóльшая точность. И получают тоже одинаковые дополнительные цифры.
А если не хочется, то можно не объявлять. Для науки математики и её использования в приложениях это значения не имеет. Так что степень влиятельности одного из самых влиятельных тезисов, аргумента Квайна–Патнэма, есть чистая фантазия философов.
Вообще, к идеальным математическим объектам можно отнести всё, что получается предельным переходом: суммы бесконечного числа слагаемых (суммы рядов), интегралы, площади фигур, длины кривых, производные, скорости и ускорения... Они идеальные потому, что окончательный результат получается только бесконечным числом уточнений. И всё это работает в приложениях!
Статья "уважаемого автора" как раз и демонстрирует непонимание полезности идеальных объектов. Об этом см. там.
Существуют ли математические объекты "в натуре"? Векторы
Даже такое "простое" понятие, как вектор на плоскости, оказывается (идеальной) абстракцией.
Если точки на плоскости "существуют", то "существуют" и направленные отрезки. А вектор есть абстракция, построенная из всей совокупности эквивалентных между собой направленных отрезков. Вектор "существует"? А как складываются векторы сил по правилу параллелограмма?
В завершение всего хочу задать один животрепещущий вопрос: