Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека

О математике с формулами, но без доказательств

Собственно, математика состоит из доказательств, так что если их избегать, то это не математика, а лишь бледный портрет ее. Но давайте признаем, что этот бледный портрет может быть кому-то интересен.

А вот без формул совсем обойтись невозможно. А так как Дзен с формулами не дружит, то основное содержание моей статьи — в PDF-формате там.

В заголовке стоит знаменитое высказывание Л. Кронекера — о том, что свойства всех математических конструкций в конечном счете могут быть сведены к свойствам натуральных чисел.

Понятно, что исторически все сложилось не так. В PDF-формате я предлагаю псевдо-историю: так, как это могло быть по Кронекеру. Это будет иллюстрацией основного метода создания новых математических объектов — факторизации по отношению эквивалентности.

Начнем с того, что есть только натуральные числа. Построим из этого материала
целые числа,
рациональные числа,
действительные числа.

Две конструкции от начала этого списка имеют ценность чисто логическую: если в натуральных числах нет противоречий и других неприятностей, то их не будет и в рациональных.

Конструкция, посредством которой из рациональных чисел получаются действительные, представляет намного больший интерес для философии науки. Здесь мы столкнемся с вопросом о том, в каком случае математический объект можно считать существующим и имеющим прикладную ценность.

НО: для восприятия этой конструкции необходимо иметь хотя бы смутные воспоминания о пределе последовательности. Чтение не обещает быть простым.

Итак, к бою!