О математике без формул
Не ругайтесь, если не все будет понятно с первого раза. Это чтение не предназначено для тех, кто принципиально не желает понимать математику. Остальные, возможно преодолевая трудности, поймут и примут хоть часть из изложенного. Тогда я буду считать, что моя цель достигнута.
В связи с большим количеством путаницы и неаккуратности в одной из статей Дзена и в ее обсуждении я предлагаю рассмотреть затрагиваемые там понятия более аккуратно.
Все математики, если они действительно математики, относятся к определениям с большим вниманием. Чего не скажешь об Авторе статьи:
Когда мы говорим о "равенстве", мы предполагаем наличие некоторой меры, которая так или иначе сводится к числу. В нашем случае мерой является расстояние между точками или длина отрезка.
Полный бред! Равенство отрезков, как и любых других фигур, определяется иначе. А то, что равные отрезки имеют равные длины, это теорема. Простая или сложная, зависит от принятых определений.
Теперь давайте всерьез.
Эквивалентность и равенство
Цитирую:
Конгруэнтность определяется как отношение эквивалентности, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности.
Телега впереди лошади. Конгруэнтность является отношением эквивалентности, но не наоборот. Это теорема, а не определение.
Отношение между объектами называется отношением эквивалентности, если оно
a) рефлексивно,
б) симметрично и
в) транзитивно.
Например отношение «быть братом» симметрично: я являюсь братом для своего брата. Отношение «любить», увы, несимметрично: бывает любовь безответная. Рефлексивность отношения означает, что каждый объект находится в этом отношении сам к себе. Можно договориться считать каждого мужчину братом самому себе. Но, опять увы, бывают люди, которые не любят себя. Транзитивность братского отношения состоит в том, что всегда если А — брат для В, а В — брат для С, то А является братом и для С. В случае любви это опять не срабатывает 😊.
Равенство является отношением эквивалентности, но обратное неверно. Математика знает много отношений эквивалентности: всевозможные изоморфизмы, параллельность прямых, равенство множеств, одинаковость остатков при делении целых чисел на данное число (сравнимость по модулю), равенство (конгруэнтность) геометрических фигур…
Теперь о равенстве. Равенство (такая сложилась традиция) обязано быть отношением эквивалентности. Это отношение эквивалентности, чтобы назвать его равенством, выбирается исходя из необходимости и целесообразности здесь и сейчас. К примеру, все граждане (в идеале) равны по своим гражданским правам, но не равны по цвету кожи или по росту.
О равенстве и конгруэнтности геометрических фигур (на плоскости). Это просто! Если называть геометрической фигурой множество некоторых точек плоскости, то термин «равно» оказывается занят за равенством множеств (фигуры, они же множества, равны, когда состоят из одинаковых наборов точек, или элементов). Поэтому если новая фигура получается из старой, например, сдвигом на ненулевое расстояние, то новая не равна старой. Пришлось применить другой термин.
Мне не кажется, что введение теоретико-множественного подхода повышает научность изложения в школе. И не в этом цель школьного образования, не так ли? Само понятие множества остается на уровне интуитивного восприятия (как и у большинства профессиональных математиков). Полагаю, преследовалась цель подвести общую базу под всю школьную математику и приучить к теоретико-множественному понятийному аппарату. Последнее полезно всем, кроме, может быть, конченых гуманитариев и людей искусства.
Впрочем, я не собираюсь всерьез обсуждать методические вопросы.
Эквивалентность определений
Одно и то же понятие можно определить по-разному. Исследование и понимание эквивалентности разных определений является существенной частью математического образования (образования, а не накачки понятиями и фактами).
Треугольник можно определить как
1) три точки плоскости, не лежащие на одной прямой (угловые точки);
2) замкнутую ломаную с тремя звеньями. Или, иначе, фигуру (?), состоящую из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и соединяющих их отрезков;
3) часть плоскости, ограниченную фигурой из варианта 2.
Все эти определения эквивалентны. Из треугольника в смысле одного из них можно единственным образом получить треугольник в смысле любого другого, и обратно.
Определение 1 неудобно своим крайним экстремизмом и плохо согласуется с интуицией.
Определение 2 симпатично, но имеет существенный недостаток: площадь такой фигуры всегда равна 0. Понятие разбиения многоугольника на треугольники становится интуитивно неочевидным.
Определение 3 такого недостатка не имеет; у него другой минус: понятие «ограничивать» не определено (это очень сложное понятие совсем не школьного уровня. Впрочем, где-то все равно придется смириться с неполнотой определений и апеллировать к интуиции). Неясно, принадлежит ли треугольнику его граница (то, что описано в определении 2) или, может быть, какие-то ее части. Как формулировать утверждение, что четырехугольник разбит диагональю на 2 треугольника? И что такое непересекающиеся треугольники? А треугольник с границей и треугольник с теми же вершинами, но без сторон, они равны? Они даже не конгруэнтны «по Колмогорову»!
Школьная геометрия постоянно пытается как-то балансировать между этими и другими недостатками.
Направленные отрезки и векторы
Опыт преподавания на математическом факультете показывает, что многие студенты приходят из школы с туманными представлениями о векторах.
Начнем с направленного отрезка. По определению, это
1) упорядоченная пара точек плоскости. «Упорядоченная» означает, что одна из точек пары выделена как «начало», а вторая — как «конец» направленного отрезка;
2) отрезок, один из концов которого выделен как «начало». Второй в этом случае называется «концом».
Эквивалентность этих определений очевидна. Применимость в школе — тоже. Как на рисунках отмечаются начало и конец, известно всем.
Я сознательно обхожу обсуждение крайних позиций, буду только указывать их:
что, если конец направленного отрезка совпадает с его началом?
Додумать эти нюансы необходимо и нетрудно (но не школьнику).
В множестве направленных отрезков плоскости введем отношение эквивалентности: соединим отрезками начала двух направленных отрезков и их концы. Если получился параллелограмм, то эти направленные отрезки эквивалентны.
А если все 4 точки совпадают? А если совпадают направленные отрезки? А если направленные отрезки лежат на одной прямой?
Теорема. Введенное отношение является отношением эквивалентности в смысле, описанном выше.
Теорема. Отношение эквивалентности разбивает множество всех элементов на непересекающиеся классы эквивалентных между собой элементов.
Когда математики вводят отношение эквивалентности, это делается для того, чтобы сделать из классов эквивалентности новое абстрактное понятие.
Вектор — это класс эквивалентности направленных отрезков. Все направленные отрезки, эквивалентные между собой, принадлежат одному вектору.
На более человеческом языке: вектор — это то общее, что есть у эквивалентных направленных отрезков: направление и величина (не забудьте убедиться в эквивалентности определений). Физикам такое понятие ближе.
Вектор сам по себе нарисовать невозможно, это абстрактное понятие. Его изображают любым из эквивалентных направленных отрезков, имеющих требуемые направление и длину.
А теперь представьте! При систематическом изложении все крайние, особые случаи надо обязательно обсуждать и в определениях, и в теоремах. А их во-он сколько! Учащийся непременно запутается в этих особых случаях. Поэтому в учебниках «по Колмогорову» нашли блестящий выход: отождествить понятия вектора и параллельного переноса. Потребуются некоторые размышления, чтобы убедиться в эквивалентности определений.
Блестящий-то блестящий, но уж больно этот блеск слепит глаза среднестатистическому учню.