Два способа решения квадратного неравенства. Подробно объясняю 20-ое задание ОГЭ

Решить неравенство: 

- 12/х²-7х-8≤0

Точнее задание выглядит так☝️

 1 способ.

Умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный. 

Левая часть неравенства представлена в виде дроби. 

Может ли эта дробь быть равной нулю?

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. 

В числителе у нас точно не ноль, а 12.

В знаменателе нуль не может быть по той самой причине, что на ноль делить нельзя.

Так что х²-7х-8≠0

Вместо неравенства 12/х²-7х-8≥0 будем решать равносильное ему неравенство 12/х²-7х-8>0.

Когда дробь строго больше нуля?

Дробь больше нуля если: числитель и знаменатель больше нуля;

числитель и знаменатель меньше нуля.

Посмотрите картинку на простом примере, чтобы было понятнее 👇

Так как в числителе положительное число 12, то в знаменателе х²-7х-8 тоже должно быть положительное число (больше нуля).

Теперь вместо дробного неравенства 12/х²-7х-8>0 решим равносильное ему квадратное неравенство х²-7х-8>0

Разложим квадратный трехчлен х²-7х-8 на множители по формуле

Для этого найдем корни квадратного уравнения х²-7х-8=0👇

Квадратный трехчлен на множители раскладывается так:

х²-7х-8=(х-8)(х+1).

Квадратное неравенство преобразуется в такое:

Левая часть неравенства представляет собой произведение двух множителей.

А когда оно больше нуля?

Когда оба множителя либо положительны, либо отрицательны 👇

Узнаем, при каких х это происходит:

Для решения систем воспользуемся числовой прямой.

Решением первой системы является промежуток от (8;+∞), а решением второй - от (-∞;-1).

Учитывая, что в ответе промежутки перечисляются слева направо по координатной прямой, формулируем ответ.

Ответ: при х, принадлежащих промежуткам от

(-∞;-1)U(8;+∞) исходное неравенство -12/х²-7х-8 меньше или равно нулю.

2 способ.

Цепочку преобразований неравенства сохраняем:

Представим левую часть неравенства х²-7х-8>0 как квадратичную функцию у= х²-7х-8 и частично покажем ее график. На графике будет парабола. Но для решения неравенства нет необходимости находить координаты вершины и точное построение ветвей по координатам. Достаточно определить, в каких точках парабола пересекает ось х. Для этого приравняем у к нулю и решим квадратное уравнение:

Значит, парабола пересекает ось х в точках (8;0) и (-1; 0).

Для наглядности решения неравенства растянем ветви параболы вдоль оси х влево и вправо. Они смотрели бы вверх, так как коэффициент при х² положительный.

Вот такая змейка получается. Точки с координатами -1 и 8 не закрашиваем, так как они не входят в решение неравенства. Ось у по сути дела тоже не нужна.

Видим, что на промежутках от (-∞;-1) и от (8;+∞) функция у=х²-7х-8 принимает положительные значения и ее график расположен выше оси х.

Формулируем ответ: решением неравенства -12/х²-7х-8≤0 являются промежутки по х от (-∞;-1) U(8;+∞).

Как заметили, при решении неравенств есть свои хитрости и тонкости, о которых нужно знать, иначе можно в два счета ошибиться и потерять баллы.

Задание решено. На экзамене достаточно показать один из предложенных способов.

Или

Есть вопросы или другие способы решения? Пишите в комментариях, обсудим.

Это задание взяла, заглянув в демонстрационный вариант ОГЭ -2025. Вот его вторая часть👇

Почти все задания отсюда я уже показывала на своем канале. Оставлю ссылки на решения 22, 23, 25 заданий.

Решения остальных покажу в следующий раз 😊.

Друзья мои! Будьте здоровы и Богом хранимы.

Девятиклассникам желаю успешной сдачи ОГЭ -2025.

Подписывайтесь на канал, где найдете решения олимпиадных задач, заданий ВПР и ОГЭ.

С вами автор Любовь.