Последнее, самое сложное задание ОГЭ модуля "Геометрия"

Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Сначала делаем чертеж. 

Строим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС (у меня 6 клеток,12 слишком много).

Продолжаем боковые стороны ∆АВС. От середины основания отступаем на 4 клеточки вниз и ставим точку О -центр окружности. Радиус равен 8, а я возьму 4 клеточки.

Строим окружность, которая касается основания АС и продолжений боковых сторон треугольника в точках М,D и К.

Теперь строим окружность, вписанную в треугольник. Найдем центр.

Он лежит на пересечении биссектрис. Точку обозначим буквой Q. Проводим вписанную окружность с центром в точке Q.

Чертеж готов, ещё раз пробежимся по задаче, глядя на чертеж.

Дано: ∆ABC-равнобедренный, АС=12, ОМ=8. Найти: QM- радиус вписанной окружности.

Решение: Соединим точки А и О и рассмотрим ∆QAO.

В нем МО=8, QM-неизвестно, АМ =½АС=6. Отрезок АМ препендикулярен стороне QO, так как биссектриса ВМ в равнобедренном треугольнике и медиана, и высота.

Докажем,что угол QAO прямой.

АQ и АО - биссектрисы углов ВАС и CAD. Почему? AQ- биссектриса по построению, a АО-биссектриса, так как точка О лежит на ней и она равноудалена от сторон угла САD (OM=OD, объясните почему?). Углы ВАС и САD - смежные и их сумма равна 180°. А угол между биссектрисами этих углов QAO равен 90°.

Таким образом угол QAO прямой и ∆QAO- прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы. В нашем случае АМ=√QM•OM(всё под корнем).Возведем обе части равенства в квадрат: АМ²=QM•OM

Подставим данные задачи в это равенство:

6²=QM•8

QM=36:8

QM=4,5

Ответ: радиус вписанной окружности равен 4,5.

В общем виде задача выглядит так:

В чем ее сложность?

В построении чертежа. Он должен быть максимально точным.

А ещё в использовании не одной, не двух, а нескольких теорем. Если нетрудно, перечислите в комментариях, какие теоремы, свойства понадобились? А может у вас возникло другое решение?

Дорогие друзья! 25 задание публикую впервые. Хочу спросить, надо ли публиковать подобные? Это сложно для восприятия?

Пишите об этом.

Успехов в подготовке к экзамену нашим выпускникам.

До новых встреч.

Подписывайтесь на канал и будем дружить.

С вами автор Любовь.