Показываю два способа решения 23 задания ОГЭ, демонстрационный вариант

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС=6, ВС=8. Найдите медиану СК этого треугольника.

Дано: ∆ АВС, угол С прямой, АС=6, ВС=8. Найти: СК- медиану.

Решение первым способом.

По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Гипотенузу АВ найдём по теореме Пифагора:

АВ²=АС²+ВС²=8²+6²=100, отсюда АВ=√100=10. Значит, если гипотенуза АВ=10, медиана СК равна 5.

Задача решена. Очень лёгкое задание, согласитесь. За такое объяснение уже можно получить 2 балла. Это если помнишь свойство медианы прямоугольного треугольника. А если нет?

Предлагаю второй способ.

Попробуем действовать по-другому. По теореме Пифагора найдем гипотенузу. Она равна 10. Середина гипотенузы - точка К.

Проведём через точку К прямую КМ, параллельную АС. СК найдем из ∆ КМС.

По теореме Фалеса,если АК=КВ и КМ || АС, то и ВМ=МС. Значит МС=4, т.к. ВС=8 по условию. КМ - средняя линия ∆ АВС, она параллельна основанию и равна его половине. Если основание АС=6,то КМ=3.

Вот формулировка теоремы Фалеса, кто забыл. В учебнике это задача под номером 385.

Остаётся доказать,что угол КМС- прямой. Углы КМС и АСМ - односторонние при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. По свойству параллельных прямых их сумма равна 180°. Угол АСМ = 90° по условию, тогда угол КМС-= 180°-90°=90°. Вывод: ∆КМС- прямоугольный с прямым углом М и катетами КМ=3 и МС=4. По теореме Пифагора СК²=КМ²+МС²=3²+4²=25. Отсюда СК=√25=5.

Ответ: медиана СК=5.

Свойство медианы прямоугольного треугольника в учебнике геометрии автора Л.Атанасяна не даётся, и не каждый учитель знакомит учащихся с ним, а дети знать его должны.

Помню случай на уроке в 7 классе. Я попросила учащихся записать формулировку в тетрадь👇,

а доказать попросила дома.

Но, к сожалению, ни один из моих учащихся не смог доказать это свойство. Дети пришли недовольные на урок и попросили меня помочь им. Я познакомила их с доказательством от противного.

Дано: ∆АВС, угол С - прямой, СК- медиана. Доказать: СК=КА=КВ Доказательство: Пусть СК не равно КА и не равно КВ. Для определенности пусть медиана СК>КА,тогда и СК>КВ. Следовательно, если напротив большей стороны лежит больший угол, то угол 4>угла 3,а угол 1> угла 2. Но угол 1+угол 4=90°. Тогда угол 2+угол 3>90°,что противоречит тому, что угол С прямой. Таким же образом можно получить противоречие для случая, когда СК<КА и СК< КВ. Значит, СК=КА=КВ. Свойство доказано

Спасибо, что прочитали.

Ещё о задании 23 ОГЭ смотрите здесь.

В следующих публикациях подробно разберём задание 24,25 демонстрационного варианта.

Уважаемые математики!

А сможете ли вы доказать обратное: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Чертеж оставлю в комментариях.

До новых встреч.

Ставьте лайки, пишите комментарии, подписывайтесь на канал, будем дружить!

Автор Любовь.