Привет.
Сегодня мы узнаем формулы площадей некоторых фигур.
При решении задач зачастую становится нужным нахождение площадей фигур как по условию задачи, так и в процессе нахождения других каких-то величин. Поэтому давайте сегодня поговорим о них.
Начнем с треугольника и по возрастанию числа вершин.
Для произвольного треугольника существует несколько формул нахождения площади и их применение зависит от ситуации, когда какую будет удобнее применить: которая через высоту, или которая через угол. Когда-то проблематично найти одно, а когда-то выгоднее использовать другое. Формулы следующие:
Однако, есть у нас особый случай - это прямоугольный треугольник. Его площадь можно найти легко, перемножив его катеты. По сути, этот случай использует обе формулы, поскольку за высоту в нем можно принять и катет, да и синус угла 90° это единица. Из чего и получаем данное соотношение:
Также стоит упомянуть ещё одну формулу площади треугольника. Хоть она и выглядит страшно и громоздко, однако иногда, когда не остаётся выхода, ее применить удобнее всего:
Идём далее: четырехугольники. Их большое множество, и для каждого из них есть свои формулы нахождения площади. Однако, есть и формулы, которые применимы для всех четырехугольников. Первая из них требует знание длин диагоналей этого четырехугольника, а также угла между ними, вторая же также, как и для треугольников, требует знание всех сторон для нахождения полупериметра:
Теперь же перейдем к "частным" случаям.
Параллелограмм - по сути, это два равных склеенных треугольника по одной из сторон, поэтому его площадь и равна удвоенной площади треугольника, то есть:
Опять же, если у нас углы в параллелограмме равны по 90°, то мы получаем прямоугольник, и его площадь будет равна длину умножить на ширину (также по сути удвоенная площадь прямоугольного треугольника):
Теперь, что если у нас все стороны в параллелограмме равны. Получаем ромб, площадь которого ищется также, как и у параллелограмма. Однако, у ромба есть одно интересное свойство: его диагонали перпендикулярны. Поэтому, из формулы для произвольного четырехугольника следует ещё и следующая формула, по которой иногда тоже легко считается площадь:
А что если у нас в параллелограмме и все стороны равны, и все углы по 90°? Получаем квадрат. Для него справедливы все формулы, написанные выше, которые даже упрощаются до квадрата стороны.
Далее, у нас идёт трапеция. Для нахождения ее площади формула следующая:
Можно заметить, что полусумма оснований, которая присутствует в этой формуле - это длина средней линии трапеции, вследствие чего получаем:
Перед тем, как идти далее в сторону увеличения вершин фигур, стоит упомянуть кое-что. Зачастую нахождение площадей произвольных фигур - довольно трудная задача. Поэтому часто делаются упрощения: данную фигуру разбивают на более мелкие, и находят их площади, после чего суммируют и получают площадь всей большой фигуры. Однако, это не всегда удобно, поскольку для этого метода нужно знать стороны этих фигур, чтобы ним применить формулы, упомянутые выше. Поэтому далее будем рассматривать формулы площадей для правильных n-угольников - фигур, у которых все стороны и углы равны.
Есть формула, которая использует радиус вписанной окружности:
Кстати, эта формула применима и для некоторых неправильных фигур. Такие фигуры называются выпуклыми. К ним относят фигуры, в которых нет углов превышающих 180°. К ним также относятся треугольники и рассмотренные выше четырехугольники.
Из этой формулы мы можем вывести соотношения для правильных фигур, которые уже разбирали. Так, для правильного треугольника мы получаем следующие соотношения. Для квадрата мы получаем точно такую же формулу, как и ранее - квадрат стороны. Далее идут шестиугольники. Для них формулы следующие. Все формулы приведены на рисунке ниже. Также там указано то, как найти их через радиус описанной окружности.
Далее, что если, у нас 0-угольник. Правильно - это круг, и его площадь ищется по следующей формуле:
Сегодня мы изучили формулы площадей разных плоских фигур. Подписывайтесь на канал, ставьте лайки, пишите свои комментарии. Также предлагайте темы для будущих разборов.
Пока.
#школа #образование #образованиедетей #образованиевроссии #математика #матан
