Давайте-ка, друзья, посмотрим, всё ли на свете складывается как 2+3=5, лишь релятивистская формула сложения скоростей стоит особняком, или не всё и не стоит.
Начнём с юмора: как известно, если 20-летний парень за день в лесу собирает 10 литров брусники, а 19-летняя девушка собирает 9 литров, то нет гарантии, что вдвоём они соберут 10+9=19 литров брусники.
Но не больше 19, определённо.
Ещё есть средняя скорость; мне сейчас трудно понять логику школьников, вычисляющих среднюю скорость движения сложением скоростей и делением на их количество (как среднюю длину среднего пальца), но они так поступают. А средняя скорость вычисляется не так.
Про скорость есть ещё один нюанс: если скорость мяча относительно вагона u, а скорость вагона относительно перрона v, то скорость мяча относительно перрона (в классике!) равна сумме u+v; однако энергия мяча зависит от скорости квадратично, так что энергия мяча для того, кто стоит на перроне, не равна сумме энергий mu²/2+mv²/2, а равна m(u+v)²/2. Больше.
Если заменить формулу для энергии другой, которая при малых скоростях приближается классической, то мы придем к релятивистской формуле сложения скоростей.
Есть температура: если температура пальца 36 градусов, то температура кулака отнюдь не равна 180, а тоже 36.
А есть абсолютный нуль; и если понизить температуру с 275 градусов до 274 не так сложно, а с 275 до 273 вдвое сложнее, то вот потом проблемы: с 5 до 4 совсем не то же, что с 275 до 274, а с 5 до 0 отнюдь не в 5 раз сложнее.
А есть концентрация: если у вас есть сплав золота со свинцом, то сколько не добавляй чистое золото, концентрация золота единицы не достигнет. И не превзойдет. И смешивание разных сплавов может менять содержание золота между нулем и единицей, но никогда единицы вы не достигнете; разве что смешивать чистое золото с чистым, но тогда она всегда единица, как не смешивай.
И когда кто-то говорит, что некий Нейтринкин наблюдал сплав, концентрация золота в котором была больше ста процентов, то я преисполнен оскорбительного недоверия.
Но мой любимый пример - это вероятности выиграть в орлянку. Игра в орлянку - это переход одной ставки от одного игрока к другому в результате случайного события с вероятностями 0.5. Если у одного А ставок, а у другого В ставок, то вероятность первого выиграть всё равна А/(А+В). Сколько бы денег не накопил первый,вероятность эта единицы не достигнет и тем более не превысит. С другой стороны, если у него бесконечно много денег, то вероятность выиграть равна 1 независимо от В (лишь бы оно было конечно, конечно). С третьей стороны, если бесконечны оба капитала, то вероятность выигрыша не имеет смысла вообще: победа невозможна ни для одного из игроков.
Вы можете возразить, что бесконечных капиталов не бывает, но ошибётесь. Играть в орлянку с бесконечным капиталом очень легко: достаточно просто записывать результат, не передавая деньги из рук в руки.
Причём при суммировании капиталов вероятности складываются не как 2+3, а сложнее. Если А и В объединили свои капиталы против С, то вероятность победы равна (А+В)/(А+В+С), что никак не связано с суммой вероятностей А/(А+С) и В/(В+С).
Впрочем, если С очень велико по сравнению и с А, и с В, то приближенно эти три вероятности равны (А+В)/С, А/С и В/С, и здесь сумма классическая. Продолжая мысль, если С просто бесконечно, то вероятность его победы равна 1 независимо от А и В, по-отдельности или совместно.
Не похоже разве на скорость света, которая равна единице (в системе единиц с=1) относительно чего угодно?
Можно трактовать сумму иначе: сначала играю я, а если всё проиграл, то играешь ты. Тогда вероятность победы такая:
А/(А+С) + С/(А+С)∙В/(А+В+С).
В самом деле, либо я выиграл, либо я проиграл И выиграл ты, причем тебе надо отыграть ещё и проигранное мной. Если мы играем в другом порядке, то формула такая:
В/(В+С) + С/(В+С)∙А/(А+В+С).
Даже то, что эти две формулы дают одно и то же значение, не совсем очевидно. А связи с вероятностями победить по-отдельности, А/(А+С) и В/(В+С) вообще никакой нет. Хотя если считать С большой величиной и приблизить вероятности как В/С и А/С, то первая формула приблизится такой: А/С + В/С, а вторая такой: В/С + А/С, что одно и то же, причём именно сумма вероятностей.
Да и просто: вероятность суммы событий не равна, в общем случае, сумме вероятностей. Может быть равна в частных случаях (несовместных событий), но если сумма больше единицы, то события точно не несовместные. Так что если "купите два билета и удвойте вероятность выигрыша", то вам не врут, а завуалированно сообщают вероятность выигрыша: она равна нулю.
В итоге мы видим, что не так уж и очевидна простая формула сложения. Во многих случаях она справедлива приближенно, а иногда неприменима вообще.
