Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Согласитесь, найти точное значение наикратчайшего расстояния между двумя точками, да еще и на плоскости может каждый. Для этого придуманы всевозможные измерительные инструменты, а на координатной плоскости можно просто воспользоваться теоремой Пифагор . Но что, если речь идёт о поиске длины кривой линии? Как её найти?
Естественно, математикой уже давно найдено решение этой проблемы. Давайте придем к нему самостоятельно. Итак, поехали!
Найдем длину сегмента кривой, заданной уравнением y=f(x), разделив его на множество сегментов равной ширины и соединив получившиеся отрезки.
Теперь нужно найти каждый из отрезков, получился из-за нашей "нарезки". Немного укрупнимся:
Мы использовали теорему Пифагора в первой строке, а во второй воспользовались теоремой Лагранжа о среднем значении (очень похожую на определение дифференциала).
Длина сегмента кривой АB при всё большем и большем количестве делений всё ближе и ближе становится к сумме длин отрезков, а значит с учетом непрерывности функции, задающей кривую, можно перейти от суммирования к интегрированию:
А теперь давайте отработаем простое применение этой формулы, вычислив длину окружности, заданной уравнением:
Пользуясь симметрией окружности, сначала вычислим длину четверти окружности, а затем умножим на 4:
- Спасибо за внимание! Надеюсь, материал понравился, ставьте "Нравится"!