Михаил Михайлович Козаков родился 14 октября 1934 года в Ленинграде. Отец – Михаил Эммануилович Козаков (1897- 1954) писатель, мать – Зоя Александровна Никитина (1902-1973) редактор «Издательство писателей в Ленинграде». Корни отца из образованной еврейской семьи, а матери из сербско-греческих. В годы репрессий мать актёра дважды арестовывали в 1937 году, повторно – 1948. Во время войны с 1941 по 1944 годы, Михаил жил в эвакуации в Молотовской области (Пермский край).
Окончив среднюю школу в 1952 году, Михаил поступил в Школу-студию МХАТ.
Юный Козаков очень любил читать, родители старались дать ему хорошее воспитание. Будучи студентом последнего курса Михаил дебютировал в кино, снявшись в роли Шарля Тибо в драме М. И. Ромма «Убийство на улице Данте»(1956).
Окончив Школу-студию МХАТ (курс П. В. Массальского) М. Козаков поступил на работу в Театр имени В. Маяковского и прослужил в нём с 1956 по 1959 годы. Ему было 22 года когда он играл роль Гамлета.
Блестящих успехов добился актёр играя в «Современнике» (1959-1970), во МХАТе (1971-1972), в театре на Малой Бронной (1972-1981), и в Ленкоме (1986). Много и довольно успешно М. Козаков работал на телевидении, в качестве режиссёра-постановщика дебютировал в 1978 году («Безымянная звезда», «Покровские ворота», «Фауст» и другие).
Неповторимо читал стихи Пушкина, Тютчева, Пастернака, Бродского и других поэтов. Записал серию пластинок. Озвучивал мультфильмы («Мук скороход», «38 попугаев» и другие).
В своей автобиографической книге «Третий звонок» М. Козаков писал, что он с 1956 по 1988 год сотрудничал с КГБ СССР. Орган государственного управления СССР в сфере обеспечения государственной безопасности, действовавший с 1954 по 1991 год.
Работу в Израиле М. Козакову предложили в 1991 году, и он переехал вместе с семьёй. Четыре года он играл на иврите в Тель-Авивском камерном театре. Ему удалось создать русскую труппу (антрепризу), и выпустить четыре спектакля.
Однако в 1996 году артист вернулся в Россию. Решение вернуться было принято спонтанно, провожая в аэропорту наших артистов, Козаков взял билет и улетел вместе с ними в Москву. Когда его спросили: «Как же? Вот так вдруг…» – он ответил: «Да, ты знаешь, к эмиграции я готовился значительно дольше…»
Продолжая работу он организовал собственную труппу «Русская антреприза Михаила Козакова». Выступал с моноспектаклями, а также в роли чтеца произведений И. А. Бродского и А. А. Ахматовой актёр до 2010 года.
В 2010 году у М. Козакова был диагностирован рак лёгких в неоперабельной форме. 22 апреля 2011 года на 77 году жизни актёр скончался в клинике израильского города Рамат-Ган, где проводилось лечение. Похоронили артиста на Введенском кладбище в Москве, рядом с могилой отца. Артист был пять раз женат, у него осталось пятеро детей от разных браков.
Художественный руководитель театра «Ленком» Марк Захаров сказал:
Это был очень красивый и очень своеобразный человек, который прожил красивую, очень непростую, иногда путаную, иногда странную, необъяснимую жизнь. Потому что метания между Израилем и Россией, конечно, они не прибавляли ни здоровья, ни сил творческих, ни вдохновений. Но, тем не менее, такая трагическая, но вместе с тем счастливая судьба была уготована этому красивому, прекрасному, очень одарённому человеку.