Одним погожим осенним днем в Новой Англии я, тогда студентка первого курса колледжа, шла мимо входа в метро, как вдруг мое внимание привлекла математическая задача. Какой-то человек рисовал прямо на стене задачи-головоломки. Согласно одной из них, при помощи линейки и циркуля нужно было построить куб, объем которого был бы вдвое больше, чем у заданного куба.
Эта картина заставила меня остановиться. Я видела эту задачу раньше. Фактически ей более двух тысячелетий: по словам Плутарха, подобная формулировка восходит к Платону. При помощи линейки (считается, кстати, что на ней нет привычных делений) можно соединить две точки и удлинить полученный отрезок в любом направлении. Посредством циркуля можно нарисовать круг любого радиуса с заданным центром.
Ключевая особенность подобного типа головоломок состоит в том, что любые точки или линии, присутствующие на окончательном чертеже, либо находились там изначально согласно условию задачи, либо были получены последовательно из предыдущего шага заданным построением.
Чтобы удвоить объем куба, начнем с одного из его ребер, длину которого можно принять равной 1, так как это единственная заданная единица измерения. Чтобы построить куб большего размера, нужно найти способ, используя в качестве инструментов только линейку и циркуль, нарисовать ребро новой требуемой длины, которая соответственно должна составлять 3√2 (кубический корень из двух).
Это сложная задача, и более 2 тыс. лет никому не удавалось ее решить. Наконец в 1837 г. Пьер Лоран Ванцель объяснил, почему никому так и не удалось добиться успеха, доказав, что это невозможно. В его доказательстве использовался передовой математический аппарат того времени, основы которого были заложены его французским современником Эваристом Галуа, который погиб в 20 лет на дуэли, вероятно, связанной с несчастной любовной историей. В мои 20 на моем счету было куда меньше впечатляющих математических достижений, но я по крайней мере поняла доказательство Ванцеля.
Идея заключается в следующем: рассматривая произвольную точку на плоскости как начало координат, а длину заданного отрезка принимая равной 1, сравнительно несложно использовать линейку и циркуль для построения всех точек на числовой прямой, координаты которых представляют собой рациональные числа (игнорируя, подобно всем настоящим математикам, невозможность построить бесконечное количество точек за конечный промежуток времени).
Ванцель показал, что если использовать только эти инструменты, то каждая вновь построенная точка должна быть решением квадратного полиномиального уравнения ax2 + bx + c = 0, коэффициенты которого a, b и c находятся среди ранее построенных точек. Напротив, точка 3√2 представляет собой корень кубического многочлена x3 – 2 = 0, и теория Галуа убедительно доказывает, что вы никогда не сможете получить решение неприводимого кубического многочлена, решая квадратные уравнения (по сути, потому что нет степени 2, которая бы делилась на 3 без остатка). Вооруженная этим знанием, я не смогла удержаться от общения с тем человеком на улице. Как и ожидалось, моя попытка объяснить, откуда я знаю, что эта задача не имеет решения, ни к чему не привела. Вместо этого он стал утверждать, что образование сделало меня ограниченной и неспособной «мыслить нестандартно». В конце концов моей девушке удалось увести меня и мы продолжили путь.
Только один вопрос вертелся в моей голове. Каким образом мне, желторотой студентке-третьекурснице, удалось всего за несколько недель научиться достаточно свободно оперировать такими абстрактными понятиями, как поля Галуа? Этот материал пришелся на окончание курса, наполненного группами симметрии, кольцами многочленов и связанными с ними теоретическими сокровищами, которые взорвали бы умы математических гигантов, таких как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс. Как удается математикам столь быстро обучать следующие поколения студентов, рассказывая им о теориях, которые еще вчера удивляли экспертов и были доступны единицам?
Частично ответ связан с недавними достижениями в математике, которые открывают взгляд на нее «с высоты птичьего полета», через постоянно растущие уровни абстракции. Теория категорий — это раздел математики, который объясняет, как различные математические объекты могут считаться «одинаковыми».
Его фундаментальная теорема говорит нам, что любой математический объект, каким бы сложным он ни был, полностью определяется его отношениями к подобным объектам. Теория категорий нашла применение и в процессе обучения молодых математиков новейшим идеям и теориям. Вместо того чтобы углубляться в изучение отдельных законов, применимых только в конкретных областях, можно попытаться понять общие абстрактные правила, действующие во всей математической теории.
По мере развития математики расширяется представление о том, при каких условиях два объекта могут считаться «одинаковыми». В течение нескольких последних десятилетий я и многие другие исследователи работали над расширением теории категорий, проливающим свет на новое понятие «уникальности». Объектом исследований стали новые категории, называемые категориями бесконечности (∞-категории), которые расширяют теорию категорий на бесконечные измерения. Язык ∞-категорий дает математикам мощные инструменты для изучения областей, в которых отношения между объектами слишком тонкие, чтобы их можно было определить в терминах традиционных категорий. Перспектива «бесконечного уменьшения масштаба» предлагает новый способ осмысления старых концепций и путь к открытию новых.
Читать далее >>
