В 1985 году Бенуа Мандельброт исследовал итерации — он многократно применял простые формулы и отправлял их на печать. То, что выдавал принтер, зачаровывало, ведь это были первые наброски фрактального мира.
Первой формулой для множества Мандельброта была x^2+c. Математики многократно повторяли итерации, подставляя результат предыдущего расчета в следующий.
Давайте выберем значение с, пусть оно будет равно 0,5, а х=0. На первом шаге получится 0^2+0,5=0,5. Результат подставим вместо х, получим 0,5^2+0,5=0,75. И дальше результат подставляем вместо х. На третьем шаге получим 0,75^2+0,5=1,0625. При таких значениях расчеты можно проводить бесконечно.
Давайте попробуем отрицательную константу. При с=−0,5 последовательность не убегает в бесконечность, а приближается к числу –0,366. Если в формулу подставлять действительные числа, то принтер нарисует одномерное множество Мандельброта, которое похожее на детский рисунок.
Другое дело, если в формулу подставлять двухмерные комплексные числа. Здесь фракталы предстают перед нами во всей красе. Последовательность творит всякие удивительные вещи — например, пляшет между несколькими точками, но не утекает в бесконечность. Множество Мандельброта указывает нам на ключевое свойство фракталов — самоподобие, и эта красота уже тянет на произведение искусства.
Сегодня фракталы широко применяются для моделирования природных процессов, например роста растений или образования облаков. Также фракталы уже применяют для моделирования роста морских организмов — кораллов и губок. Фрактальным также является разрастание современных городов, а еще при помощи фракталов моделируют деятельность мозга и движение цен на фондовых рынках.
Множество Мандельброта не стало первым исследованием фракталов, и не было единственным. Среди других знаменитых фракталов можно вспомнить снежинку Коха и треугольники Серпинского.
Такие фракталы мы с детьми рисуем на занятиях, их можно рисовать бесконечно. Ну а на картинке ниже фракталы, которые встречаются в живой природе.
Больше математических интересностей в моем телеграм-канале. Присоединяйтесь!
#фракталы #фрактал #математические задачи #математика для детей #олимпиадные задачи #математика #задача на логику #математика профиль #математическийкружок
