В лекции [https://zen.yandex.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/teoriia-mnojestv-binarnye-otnosheniia-623a80b75ad1380b5eed16c8] были сформулированы основные понятия, связанные с такими множествами, которые задаются на декартовом произведении (бинарные отношения), в этой лекции будут представлены специальные бинарные отношения, обладающие рядом свойств, перечень которых также будет показан в лекции.
Итак, бинарные отношения могут обладать следующими свойствами.
В случаях, когда бинарные отношения не обладают каким-то из перечисленных выше свойств, то можно расширить бинарное отношение путём добавления некоторого числа упорядоченных пар до бинарного отношения, обладающего необходимым свойством. Для этого введём определение замыкания.
Бинарные отношения, обладающие некоторыми свойствами, имеют специальные названия. Выделим отношение эквивалентности, отношение порядка, в том числе линейного порядка.
Теорема. Пусть R – отношение эквивалентности на непустом множестве А. Тогда различные классы эквивалентности определяют разбиение А.
Определение. Множества с частичным порядком принято называть частично упорядоченными множествами (ЧУМ).
Для представления конечного частично упорядоченного множества используются диаграммы Хассе (или Гессе) по фамилии немецкого математика Helmut Hasse.
Пример. Определим, какие свойства (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность) выполняются для следующих отношений:
(а) «х делит у» на множестве натуральных чисел;
(б) «х не равно у» на множестве целых чисел;
(в) «количество лет х совпадает с возрастом у» на множестве всех людей.
Упражнение 1.