В предыдущей лекции (https://zen.yandex.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/vyskazyvaniia-i-operacii-nad-nimi-62387ae3fafc15385fd4161e) рассматривались основные операции Логики высказываний: унарная операция – отрицание (она же инверсия), бинарные логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквавалентность.
В этой лекции рассмотрим ещё несколько бинарных операций над высказываниями, а также определим понятие «Таблица истинности».
В результате изучения этой лекции предполагается, что Обучающийся узнает, как строятся таблицы истинности, каков приоритет одних логических операций перед другими в сложных высказываниях, а также формально определим понятия алфавита и формулы логики высказываний.
Сформулируем определение бинарной логической операции «Исключающее или».
Например, рассмотрим в качестве высказывания P высказывание «Дважды два = четыре», а в качестве высказывания Q высказывание «Луна – спутник Земли», оба этих высказывания имеют значение истинности «Истина», тогда в результате логической операции «Исключающее или» этих высказываний P и Q образуется новое высказывание со значением истинности «ЛОЖЬ».
Рассмотрим ещё один пример: прочитаем фрагмент из сказки Леонида Филатова «Про Федота – стрельца».
Поскольку Федот готов допустить достоверность одного из этих предположений, но никак не совпадение нескольких, поэтому такая ситуация описывается логической формулой, показанной на рис. ниже.
Сформулируем определения ещё двух бинарных логических операций.
Например, рассмотрим в качестве высказывания P высказывание «Дважды два = четыре», а в качестве высказывания Q высказывание «Луна – спутник Земли», оба этих высказывания имеют значение истинности «Истина», тогда в результате логической операции «Штрих Шеффера» этих высказываний образуется новое высказывания со значением истинности «ЛОЖЬ».
Например, рассмотрим в качестве высказывания P высказывание «Дважды два = четыре», а в качестве высказывания Q высказывание «Луна – спутник Земли», оба этих высказывания имеют значение истинности «Истина», поэтому в результате логической операции «Стрелка Пирса» этих высказываний образуется новое высказывания со значением истинности «ЛОЖЬ».
Бинарная логическая операция «Стрелка Пирса» (как и сформулированная ранее операция «Штрих Шеффера») обладает тем свойством, что через неё одну выражаются все другие логические операции. Подробнее об этом будет показано в следующей лекции, описывающей законы Логики высказываний.
Таблицы истинности.
При задании сложных логических высказываний удобно использовать таблицы истинности, которые перечисляют всевозможные комбинации истинности и ложности высказываний.
На этом слайде показана таблица истинности для произвольных бинарных логических операций.
В представленной таблице истинности символ в виде квадратика обозначает произвольную бинарную операцию.
В первом столбце указывается номер строки, иногда этот столбец опускается.
Во втором и третьем столбцах перечисляются возможные наборы значений высказываний P и Q.
Заполнение второго и третьего столбца осуществляется следующим образом. Второй столбец разделяется пополам, верхняя часть которого заполняется нулями, а нижняя – единицами, в третьем столбце – каждая из половинок разделяется пополам, затем верхняя часть каждой половинки заполняется нулями, а нижняя – единицами и т.д.
Число строк произвольной таблицы истинности определяется по формуле 2 в степени n, где n – число простых пропозициональных высказываний.
Ниже показаны таблицы истинности для всех логических операций, заданных в этой и предыдущей лекции по разделу "Логика высказываний".
Построение таблицы истинности возможно двумя способами.
По первому способу предлагается каждый промежуточный этап в вычислении результирующей таблицы истинности указывать последующим столбцом (см. рис. ниже).
По второму способу предполагается заполнение столбцов со всевозможными значениями истинности для простых пропозициональных высказываний, а затем вычисление итогового значения истинности построчно (см. рис. ниже).
Сформулируем ещё несколько важных определений.
Приняты следующие соглашения относительно записи формул логики высказываний.
Для закрепления полученной теоретической информации, попробуйте самостоятельно решить следующие задания.
Свои ответы можете указать в комментариях под видео, при этом возможно получить обратную связь как от лектора, так и от комментаторов.
Упражнение 1.
Запишите высказывание на естественном языке, описываемое с использованием логической операции «Исключающее или», а также определите его значение истинности.
Упражнение 2.
Запишите на естественном языке следующие формулы логики высказываний, при этом под высказыванием P рассматривается высказывание «Аристотель является основоположником логики», под высказыванием Q = «Два умножить на два равно пяти», а через R обозначено высказывание «Владивосток – столица Приморья».
Упражнение 3.
Запишите произвольное высказывание на естественном языке, определите значения истинности входящих в это высказывание простых частей и вычислите итоговое значение истинности сложного высказывания.
Свой вариант сложного высказывания, а также итоговое значение истинности приведите в комментариях под этой лекцией.
