В одной тоталитарной стране каждый год проходил чемпионат по футболу в один круг () то есть каждая команда играет с каждой один раз. Подсчет очков, как обычно: за победу — 2 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — ноль. Каждый год победу одерживала любимая команда диктатора, но в этом году она заняла последнее место.
Диктатор вызвал к себе министра спорта и попросил его хорошенько подумать о том, как такое могло произойти. Министр думал всю ночь, а утром изменил правила подсчета очков. Теперь за победу дают 3 очка, а за ничью и поражение по-прежнему одно и ноль очков соответственно. После пересчета очков любимая команда диктатора выиграла чемпионат. Возможно ли такое в принципе? И почему?
Обычно у людей на решение этой задачи уходит довольно много времени (минут 5 минимум). Так что рекомендую притормозить и немного подумать самостоятельно.
Решение
Как часто бывает в задачах с подобной постановкой вопроса, ситуация, когда после изменения системы подсчета очков проигравшая команда становится чемпионом, возможна.
Вот пример. Допустим, в Чемпионате участвовало 13 команд в числе которых была Любимая Команда Диктатора (назовем её для краткости ЛКД). Так как чемпионат проходит в один круг, значит каждая команда сыграла 12 матчей.
Допустим, ЛКД выиграла 5 матчей, а 7 проиграла. Все остальные матчи команды сыграли вничью. Получается, что по старой системе подсчета очков ЛКД набрала 5•2+7•0=10 очков. Остальные команды набрали минимум 11 очков, а семь команд набрали 11•1+1•2=13 очков. Вот и вышло, что, несмотря на то, что ЛКД выиграла больше всех матчей, она заняла по очкам последнее место.
По новой же системе подсчета очков те команды, которые играли только вничью (их пять) набирают те же 11 очков, что и по старой системе подсчета; те, кто один раз выиграл команду ЛКД — таких команд 7 — набрали 11•1+1•3=14 очков. А ЛКД набирает 5•3+7•0=15 очков — это больше остальных, поэтому теперь она занимает первое место и становится чемпионом, а министра спорта оставят при должности, не отправят в ссылку и не расстреляют.
Интересно, кто как ещё решил задачу? Может у кого-то есть другие варианты того, как всё могло быть? И вот ещё несколько интересных задач:
