Давайте немного поэксплуатируем Леонида Якубовича и его "Поле чудес". Игру можно было бы сделать намного интересней, если бы вместо двух шкатулок выносили три. Вот как это могло бы выглядеть.
Игроку за правильно угаданные подряд три буквы выносят не две шкатулки, а три. Одна из них пустая, во второй лежат символические 100 рублей, а в третьей — 100 000 рублей.
Игрок наугад выбирает, например, первую шкатулку, но не открывает её. После этого Якубович, который знает, в какой из шкатулок что, намеренно открывает пустую шкатулку — например, вторую — чтобы пощекотать вам нервы и сделать капитал-шоу более зрелищным. И тут же предлагает вам ещё раз подумать и даёт возможность изменить свой первоначальный выбор.
Стоит ли менять выбор или нет? И увеличатся ли от этого шансы выиграть 100 000 рублей?
Эта задача в слегка другой формулировке называется парадоксом Монти Холла. Она относится к задачам теории вероятности. Впервые ее решение было опубликовано Стивом Селвином в 1975 году, но популярность эта задача приобрела приобрела в 1990 году после публикации в журнале "Parade".
Монти Холл, кстати, это не ученый и не теоретик. Он такой же телеведущий, как и Леонид Якубович. В его телевизионном шоу Let's make a deal (Давай заключим сделку), которое выходило в США (а потом в множестве других стран) с 1963 года были похожие правила, только вместо шкатулок были двери. За двумя из них были козы, а за третьей — новенький Кадиллак. В общем, парадокс вполне мог бы называться и именем Леонида Аркадьевича. Но это так, к слову.
Давайте тоже немного поработаем извилинами и порассуждаем так, как если бы мы были игроком Поле чудес. Очевидно, что после того, как Якубович открывает пустую шкатулку, он начинает с нами новую игру. Но так как шкатулки теперь всего две, независимо от того, будем мы менять свой выбор или нет, шансы выиграть 100 000 рублей у нас 50:50. То есть особо смысла менять свой выбор у нас нет, но можно и поменять, если хочешь. Вот только к выигрышу 100 000 рублей смена выбора нас никак не приблизит.
Так рассуждает большинство. И это вполне себе логичные рассуждения, к которым сложно придраться. Но на самом деле они неверны. Логика и здравый смысл капитулируют.
Решение
Поменяв свой выбор (выбрав теперь третью шкатулку вместо первой) вы удвоите свои шансы на выигрыш 100 000 рублей. Почему?
Объяснений очень много. И со строгими вычислениями и формулами, и без них. Я постараюсь объяснить на словах.
В первый раз, когда ещё все шкатулки закрыты, выбрать правильную (ту, в которой лежит 100 000 рублей) можно с вероятностью 1/3, а неправильную с вероятностью 2/3. После того, как одну из неправильных шкатулок открывают, вероятность того, что выбранная ранее шкатулка правильная — по-прежнему 1/3, а вероятность того, что другая неоткрытая шкатулка правильная — 2/3, так как шкатулки теперь только две.
Ещё одно рассуждение
Если всё ещё непонятно, давайте попробуем рассмотреть задачу немного с другого угла и сформулируем задачу другими словами. Пусть Якубович, будучи порядочным человеком, так сразу и говорит, что сначала игроку надо открыть одну из трёх шкатулок, а потом выбрать одно из двух действий: 1) открыть выбранную шкатулку или 2) открыть две другие.
Подумайте! Я не изменял условие задачи, я просто сделал формулировку задачи более откровенной и честной. И в этом ключ к решению и понимаю. Теперь очевидно, что выгоднее выбрать второй вариант, так как вероятность получения 100 000 рублей в два раза выше. Одну из дверей откроет ведущий, а другую вы.
Строгое доказательство
Я не фанат чисто математических доказательств, но уверен, что в комментариях всё равно найдутся скептики, которые будут спорить, так что давайте всё-таки приведу несколько формул.
Пусть у нас есть два множества. Множество А с выбранной на первом шаге первой шкатулкой и множество В с двумя оставшимися шкатулками. В таком случае вероятности того, что вторая Р(2) и треться Р(3) шкатулки окажутся выигрышными равны:
После того, как ведущий открывает одну из заведомо проигрышных шкатулок (пусть это будет вторая шкатулка), условные вероятности меняются с 1/2 и 1/2 на 0 и 1:
Теперь уж точно очевидно, что вероятность того, что 100 000 рублей лежат в третьей шкатулке равна 2/3 против вероятности 1/3 у первой шкатулки. То есть с точки зрения теории вероятности всегда выгоднее менять свой выбор.
Если всё равно не убедительно, то давайте продолжать дискуссию уже в комментариях. Может быть кому-то удастся объяснить решение понятнее, чем это получилось у меня.
Что на практике
И напоследок давайте обратимся к реальной статистике. За всё время существования шоу Монти Холла люди, менявшие своё решение, в самом деле выигрывали почти в два раза чаще.
Из 30 игроков, поменявших своё изначальное решение выиграло 18 человек — это 60%. А из 30 человек, которые не меняли своего изначального решения выиграло только 11 человек — 36%. Так что хотите верьте, хотите нет, казалось бы нелогичные рассуждения подтверждаются практикой.
На самом деле парадокс Монти Холла можно использовать в разных областях, связанных с выбором и неопределенностью. Например, в ставках на спорт. Но это уже совсем другая история, так что не стоит относиться к этому задаче как к просто интересному математическому парадоксу.
А вот ещё несколько интересных парадоксов, которые противоречат логике и здравому смыслу так же, как и эта задача:
