В старом Кенигсберге было семь мостов на Прегеле. Река Прегель изобилует островами. Семь мостов соединяли два острова с берегами реки, (см. рисунок)
Математики заинтересовались вопросом: можно ли пройти через все семь мостов, не переходя ни через один по два раза? Иные доказывали, что можно. Другие считали, что нельзя, но обосновать эту невозможность не могли. Пустяковый на первый взгляд вопрос оказывался трудно разрешимым.
Попробуйте решить её сами. Возьмите карандаш и пустите его в путь по мостам на рисунке. Отправляйтесь, откуда хотите. Только, отмечая ваш маршрут, соблюдайте одно условие: не прочеркивать один и тот же мост дважды.
Что, не получается?
Не получается! Откуда бы вы ни начали движение, всегда в конце концов остается по крайней мере один «лишний» мост, путь к которому оказывается отрезанным ранее пройденными (зачерченными) мостами.
Математик Леонард Эйлер неопровержимо доказал, что положительного решения задача о семи мостах иметь не может. Эйлер был знаменитый математик, профессор Российской Академии наук, друг Ломоносова. Почему же этот крупный ученый заинтересовался вопросом, который больше похож на детскую головоломку, чем на серьезную задачу? Конечно, не потому что сам любил прогуливаться по мостам. Семь кенигсбергских мостов интересовали Эйлера как топологическая задача, Задача эта решается так.
Точка, в которой сходятся (или из которой расходятся) несколько линий — сеть линий, — называется в топологии узлом. Если в узел входит четное число линий, то и сам узел называют четным, и наоборот, Математиками доказано, что прочеркнуть одним росчерком сеть линий можно только в том случае, если все узлы в ней четные или нечетных только два.
Рассмотрим наши мосты и дороги как сеть линий. Возьмем произвольные точки А и В на обоих берегах реки и точки С и Д на островах. Соединяя их линиями, проходящими через мосты, получим такую сеть линий, (см. рисунок)
Рассмотрим узлы нашей сети: в узел А входят 3 линии; в узел В и в узел Д — тоже по 3. В узел С входят 5 линий. Таким образом, все наши узлы нечетные. А потому и положительное решение задачи невозможно.
В каком же случае оно станет возможным?
Это новая задача, решить которую нетрудно. Мы должны только превратить какие-нибудь из наших узлов в четные. Если мы соединим, например, дополнительной линией точки А и Д, то узлы А и Д станут четными. Остаются только два нечетных узла `— С и В, и следовательно, задача уже стала разрешимой. Взяв в руки карандаш, легко это показать, (см. рисунок)
На местности проведенная нами дополнительная линия между точками А и Д и между точками В и С обозначает дополнительный мост, соединяющий берег с островом. Задача может иметь и другие решения. Предоставляется вам их отыскать и оценить.
В этой задаче, как вы видите, нет никаких геометрических измерений. Совершенно безразлично, как велико расстояние между точками А, В, С и Д, т. е. безразличны ширина реки, расстояние между мостами, длина их и т. п. Все линии здесь кривые — произвольной, неправильной формы. Но существующие между ними отношения сохраняются при каком угодно непрерывном изменении образуемой ими фигуры. Это — основное топологическое свойство.
Топологией и называется часть геометрии, изучающая такие свойства геометрических фигур, которые не зависят от измерений (длины, величины углов) и сохраняются при изменениях формы фигур (деформации). В данном случае мы могли бы как угодно сжимать или вытягивать нашу сеть линий, как угодно искривлять их — от этого решение задачи не изменилось бы.
Много воды утекло в Прегеле с тех пор, как была поставлена и разрешена задача о его мостах. Сам Кенигсберг был переименован в город — Калининград. Но задача о семи кенигсбергских мостах прочно вошла в математику.
