Как найти одну фальшивую монету из 12-ти, если количество взвешиваний не должно превышать три? Решала 8 часов. Где ошиблась?
После публикации с головоломкой наш читатель задал нам встречную задачку. Решаем её в картинках.
А так как в следующем комментарии Руслан сказал, что в интернете верного решения нет, то пришлось решать её.
Нерешаемая задача
Имеется 12 монет. 11 одного веса. А одна - фальшивка, весит либо больше, либо меньше. Нужно узнать какая, если монеты можно сравнивать только друг с другом на чашечных рычажных весах. Всего разрешено только три взвешивания.
Давайте попробуем представить решение схематично.
Вот наши 12 монет.
Шаг 1
Делим все монеты на 3 кучки
ВАРИАНТ 1
Взвешивание 1
Взвешиваем любые две кучки.
Допустим, мы взяли для взвешивания кучку 1 и кучку 2.
Если весы будут уравновешены, то фальшивая монета останется в третьей кучке.
Среди монет 1,2,3,4,5,6,7,8 фальшивых нет.
Взвешивание 2
На одну чашу весов кладем три монеты из 1,2,3,4,5,6,7,8 и три монеты из кучки 3.
Пусть это будут монеты
- 1, 2, 3
- 9, 10, 11
ПЕРВЫЙ возможный вариант ВТОРОГО взвешивания
Так после второго взвешивания можно найти фальшивую монету. В нашем случае фальшивая монета — №12.
Теперь можем применить третье взвешивание, чтобы узнать легче или тяжелее фальшивая монета, сравнив на весах её с настоящей.
ВТОРОЙ возможный вариант ВТОРОГО взвешивания
После этого взвешивания мы узнаем, тяжелее или легче фальшивая монета.
Мы видим, что три монеты 9, 10, 11 оказались легче или тяжелее. Значит, среди них находится фальшивая монета.
Для дальнейшего расчета примем один вариант — фальшивая монета ТЯЖЕЛЕЕ. Если выбрать вариант «легче», то дальнейшее решение будет идентичным.
ТРЕТЬЕ взвешивание для второго варианта
Сравним вес монет №9 и № 10
Если монета под №10 тяжелее, то она и есть фальшивая.
Если же весы с монетами № 9 и № 10 будут уравновешены, то фальшивая — это монета № 11
ВАРИАНТ 2
Взвешивание 1
Допустим, что взвешивание монет
- 1, 2, 3, 4
- 5, 6, 7, 8
мы видим неравенство (любое из вариантов на картинке)
Но пока мы не знаем, тяжелее или легче фальшивая монета.
Взвешивание 2 (случай первый)
Допустим весы установились так, как показано на рисунке справа. То есть монеты 1, 2, 3, 4 — ТЯЖЕЛЕЕ
Займемся чашей весов с монетами 1, 2, 3, 4 и добавим к ним еще две.
Кладем на весы так:
- 1, 2 + 5
- 3, 4 + 9 (точно настоящая)
Если весы уравновешены, то среди монет 6, 7, и 8 есть одна фальшивая и она ЛЕГЧЕ.
Взвешивание 3
Сравниваем монеты 6, 7, 8.
Первое возможное сравнение
Если весы уравновешены, то фальшивая монета № 8. И она легче
Хотя в этом случае нам не важно легче или тяжелее фальшивая монета.
Но ответ получен, так как о «тяжелее/легче» нас не спрашивают.
Ответ есть!
Весы ведь могут установиться по-другому.
Второе возможное сравнение
Если весы установились так?
Тогда нам станет ясно, что раз монета №6 оказалась легче, то она и есть фальшивая.
Взвешивание 2 (случай второй)
А если картина будет такая
Кладем на весы
- 1, 2 + 5
- 3, 4 + 9 (точно настоящая)
Но весы не уравновесились.
Вывод: монеты 1, 2, 5 оказались тяжелее, чем 3, 4, 9. Это означает, что фальшивая монета находится среди монет 1 и 2, причём, она тяжелее остальных.
Взвешивание 3
Сравниваем монеты №1 и №2
Какая будет тяжелее, та и фальшивая.
Взвешивание 2 (случай третий)
Если во втором взвешивании окажется , что монеты 1, 2, 5 окажутся легче, чем 3, 4, 9, это будет означать один из вариантов:
- Монета № 5 легче остальных
- Одна из монет №3 или №4 тяжелее остальных
Взвешивание 3 (случай третий)
Сравниваем вес монет №3 и №4.
Ответ: Какая монета тяжелее, та и фальшивая.
Уважаемые читатели, на решение этой задачи я потратила не менее восьми часов. Но все равно до конца не уверена.
Я с радостью внесу корректировки в публикацию, если вы подскажете, что нужно поправить.
Пишите нам! Всем спасибо и удачи!