Наткнулся на блог популярной математики. Блог, в целом, достаточно дурацкий. К примеру, вот как там описывается изоморфизм:
http://popmath.ru/2011/01/29/algebra-begins-4/#more-382
Определение, данное там, весьма бестолково как точки зрения математики, так и с точки зрения интуиции. И человек не имевший дело с алгеброй вряд ли что-то поймет. Это напомнило мне, что я сам давно хотел написать популярно про философию изоморфизма.
Вот есть множество каких-то элементов. С ним делать ничего нельзя, можно лишь отображать на другое множество. Но множества скучные т.к. у них нет никакой структуры и интересных теорий с ними связанных не придумаешь. Поэтому математики наделяют множества всякими хорошими структурами и исследуют их.
Что такое структура? Это просто дополнительная информация, которая прилагается ко множеству. Например, есть у нас множество точек, и к нему мы прилагаем еще и специальную функцию (удовлетворяющую трем свойствам, которые я приводить не буду), которая на вход принимает две точки, а на выходе дает число, то есть измеряет расстояние между ними. Теперь это не просто множество, а особая структура, называемая метрическим пространством. Программисты могут представлять себе структуры как расширения класса Set, путем добавления новых свойств и методов.
Разные разделы математики изучают разные типы структур. Например, геометрам интересны структуры, которые позволяют говорить о таких понятиях как «форма», «непрерывность», «кривизна», «параллельность», а алгебраистам — те, которые позволяют говорить о различных операциях вроде умножения, сложения, и их обобщениях.
Может так оказаться, что два объекта будут выглядеть разными для одного раздела и одинаковыми для другого. Действительно, если взять топологию, которой интересны лишь непрерывные деформации, то диск и квадрат для тополога неотличимы. В то же время для дифференциального геометра, который изучает свойства гладких фигур, это совершенно разные вещи (у квадрата есть углы!).
Если у нас есть разные объекты, которые какая-то область математики не различает, то их принято называть разными умными словами. Да, объекты разные, но с точки зрения конкретной теории этой разницы-то не видно, поэтому можно считать их одинаковыми. В зависимости от раздела, меняется и название. В упомянутой топологии и геометрии они называются гомеоморфными и диффеоморфными, в алгебре — изоморфными, и т.д. Когда же нас не интересует название теории, но мы знаем, что два объекта в ней эквивалентны, то говорим, что между ними есть категорный изоморфизм.
Теперь, собственно, про алгебраический изоморфизм. Пример изоморфных объектов это два векторных пространства размерности 2. В одном элементами являются стрелочки (направленные отрезки), знакомые со школы, в другом столбики из двух чисел, которые можно складывать и умножать на число. С точки зрения линейной алгебры это одно и то же*. Это очевидно, т.к. столбики чисел это всего лишь координатное представление векторов.
Из наших наблюдений уже можно сделать некоторые обобщения. Во-первых, очевидно, что изоморфизм это какое-то отображение, которое каждому элементу первой структуры ставит в соответствие элемент второй структуры. Во-вторых, это отображение взаимнооднозначно (по-ученому — биекция), т.е. разным элементом первой структуры ставит в соответствие разные элементы второй структуры. Все? Нет, т.к. структура пока не сохраняется. Т.к. векторное пространство алгебраическая структура, то она задается операциями. В данном случае их две: сложение векторов (+) и умножение на число (*).
Тогда, если F изоморфизм, то F(k*(a + b)) = k*F(a) + k*F(b). Вот и все. Заметьте, что интуитивное соответствие направленных отрезков и координат обусловлено сохранением структуры относительно операций.
Зачем же вообще тогда нужны все эти ...-морфизмы, если разницы между ...-морфными объектами нет? А вот зачем: если скажем тополог работает с каким-то непонятным объектом, но внезапно обнаруживает, что он гомеоморфен сфере (хорошо изученный объект), то жизнь становится в разы проще. Кроме того, очень полезно уметь думать об одном и том же по-разному. В приведенном выше примере в зависимости от приложения о векторе думать лучше как о стрелке или как о наборе чисел.
Конечно, существуют менее тривиальные примеры (и гораздо более полезные), когда о группе вращений можно думать как об особой подгруппе матриц или о многомерной сфере с хитрым расслоением.
* Вообще говоря, два векторных пространства одинаковой размерности всегда изоморфны.
Кстати, если вы-таки простыню осилили, то для эксперимента отпишитесь в комментах поняли ли вы что-то или нет.
А самые стойкие могут даже ответить на вопрос: есть множество целых чисел Z с двумя операциями (обыкновенное сложение и умножение). Опишите все возможные изоморфизмы из Z в само себя (такой изоморфизм называется автоморфизмом).
