Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Предлагаю продолжить наши рассуждения о замкнутых множествах. Сегодня очень простой, скажем так, больше технический и тривиальный материал, который просто необходимо рассмотреть для придания изложению законченности.
Будем говорить о том, что получается, если на прямой искать различные пересечения замкнутых множеств. Поехали!
Если пропустили начало опуса, рекомендую вернуться:
Итак, рассмотрим различные варианты пересечения замкнутых множеств на вещественной прямой.
Вариант 1. Тривиальный
Классическое пересечение отрезков, которые накладываются друг на друга более, чем одной точкой. Естественно в итоге получается замкнутое множество.
Вариант 2. Пустота
Если отрезки не имеют общих точек, то их пересечение пусто, но это не проблема. Ведь мы условились считать пустое множество замкнутым и открытым одновременно.
Вариант 3. Точка
Если конец одного отрезка совпадает с началом другого, то их пересечение будет отдельной точкой. Вот здесь очень тонкий момент...
- Точка является замкнутым множеством, если она находится внутри чего-либо: внутри отрезка, внутри интервала, наконец внутри всей вещественной прямой.
- Точка является и замкнутым и открытым множеством, если мы рассматриваем ситуацию, когда кроме точки вокруг ничего не существует.
Мы же рассматриваем варианты на вещественной прямой, поэтому принимаем первый случай.
Вариант 4. Лучи добра
Теперь мы рассмотрим пересечение отрезка с закрытым лучом. Здесь больше вопрос не к результату, а к условию. Почему, собственно, закрытый луч является замкнутым множеством, ведь это интуитивно непонятно.
Но давайте поразмышляем: мы условились считать замкнутым множеством такое множество, все предельные точки (у которых есть окрестность с хотя бы одной точкой множества, отличной от себя) которого ему принадлежат. Очевидно, закрытый луч удовлетворяет этому требованию!
Вариант 5. Бесконечность
Наверное, главным результатом нашей тягомотины является то, что пересечение любого количества (в том числе бесконечного) числа замкнутых множеств является множеством замкнутым. Это легко показать по определению:
- Замкнутое множество содержит все свои предельные точки;
- Пересечение множеств - это множество точек, которые принадлежат всем множествам одновременно;
- По п.1 все эти точки предельные, значит, возвращаясь к определению, делаем вывод о замкнутости результата.
Как видите, никакого контрпримера с пересечением на вещественной оси быть не может. Другое дело - с объединением. В следующем материале я покажу Вам ситуацию, когда объединение замкнутых множеств на прямой не будет замкнутым!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, даже если считаете мои рассуждения "игрой в бисер". На канале есть статьи на любой вкус!