Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Математика для чайников. Глава 15. Теория графов. Введение.
С теорией множеств мы познакомились в главе Математика для чайников. Глава 7. Множества. А с математическим анализом в главе Математика для чайников. Глава 9. Основы матанализа, главе Математика для чайников. Глава 11. Почему делить на нуль нельзя или кое-что о пределах и Математика для чайников. Глава 14. Производная. Теперь пришло время соединить эти две теории: теорию множеств и математический анализ. Вы, наверное, удивленно спросите: а зачем их соединять? А дело в том, что сам аппарат математического анализа, если его рассматривать как более общую абстракцию, базируется как раз на теории множеств. Чтобы было более понятно, я напомню, что множество чисел – это, внезапно, множество. Более того, можно сказать, что вся математика, связанная с числами (арифметика, алгебра), это частные случаи операций с множествами. Аналогично и с матанализом. То, что мы изучали из матанализа применительно к числам и алгебраическим выражениям, имеет более общий уровень абстракции применительно к различным множествам. Часто в вузах изучение матанализа начинают именно с изучения теории множеств.
Для начала, кратко повторим основы теории множеств. Множества - это неупорядоченные наборы неких элементов (это могут быть и числа, и любые другие объекты, даже вещи или предметы). Есть множества конечные и бесконечные. Например, множество натуральных чисел – это бесконечное множество, так как количество чисел бесконечно. Множество можно задать конкретным перечислением его элементов либо каким-нибудь правилом, например, диапазоном чисел. Над множествами можно производить всякие операции, например, объединение, пересечение и другие. Еще есть такое понятие как подмножество, которое образуется, если взять часть (или все) элементов из какого-то множества.
Теперь поговорим о множествах чисел. А конкретно начнем с множества действительных чисел. Согласно классическому определению, это объединение множества рациональных и иррациональных чисел. Об иррациональных числах было рассказано в главе Математика для чайников. Глава 3. Философия арифметики. Напомню, что число называется иррациональным, если оно не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n – целые числа. К таким числам относятся, например, число «пи» или квадратный корень из 2. Соответственно, рациональные числа – это все числа, которые могут быть представлены в виде дроби целых чисел. Например, число 0.112 можно представить как 112/1000. Число 3.(3) – три и три в периоде можно представить как 10/3.
Множества действительных чисел может быть ограниченным. Собственно, ограниченным может быть и множество, например, целых чисел, если мы зададим условие его границы, например: x<15. Но ограниченные множества действительных чисел имеют свои фишки. Для начала, давайте познакомимся со строгим определением множества действительных чисел, которое ограничено снизу. А строгое определение звучит так: Непустое множество
Ограничено снизу, если найдется такое действительное число a, что все элементы множества больше или равны этому числу. В виде математической формулы это записывается так:
Разберем эту формулу. Перевернутая буква «E» означает «существует». Так и читается: «существует такое a, принадлежащее множеству R». Перевернутая «A» означает «любые», так и читается: «…что для любых x, принадлежащих множеству X, справедливо неравенство…».
Аналогично строгое определение для множества действительны чисел, ограниченных сверху: найдется такое число b, что все элементы этого множества меньше или равны b:
А в чем же фишка? – нетерпеливо спросите вы. А фишка в том, что как верхних, так и нижних границ множества действительных чисел может быть бесконечно много. Например, возьмем число a-1. Для него тоже будет справедливо условие:
Аналогично и для a-1. То есть, мы можем взять любое число, вычесть его из a и получим нижнюю границу.
Но тогда возникает вопрос: а какова же истинная нижняя (верхняя) граница множества? Очевидно, что истинная нижняя граница это наибольшая нижняя граница, а верхняя – наименьшая из верхних. По научному такая вот наибольшая нижняя граница называется точной нижней границей и обозначатся inf X, читается «инфимум X». Наименьшая из верхних границ называется точной верхней границей и обозначается sup X (супремум X).
Математическим условием инфимума можно описать так:
Обозначим за Y множество всех нижних границ множества X, тогда если:
то m= inf X
Соответственно, супремум математический определяется так:
Обозначим за Z множество всех верхних границ множества X, тогда если:
то M=sup X
Возможно, вы спросите: «А для чего нужны все эти странные определения?». Дело в том, что математика – точная наука, поэтому в ней стараются найти наиболее строгие формализации. Для человека более понятны нестрогие определения. Например, если мы скажем, «нижняя граница множества» то мы чисто интуитивно понимаем, что речь идет о некой нижней границе, ниже которой нет элементов, а выше есть. Но, давайте представим, что мы разрабатываем компьютерную программу. Ни в одном языке программирования мы не найдем таких слов, чтобы сказать компьютеру, что «речь идет о некой нижней границе, ниже которой нет элементов, а выше есть». И нам придется четко сформулировать задачу на языке математики, что бы разработать алгоритм, а потом закодировать его на языке программирования – это один из примеров, где нам пригодятся те самые строгие определение, так нелюбимыми студентами.
Еще очень часто в математическом анализе используется некая дополнительная переменная «эпсилон», обозначается вот так:
На этой переменной базируются многие строгие определения. Наши инфимум и супремум тоже можно определить через нее. Например, определение инфимума:
Словами это звучит так: «Для все x, принадлежащих множеству X, справедливо условие m меньше или равно x, при этом для всех положительных эпсилон существует x, меньший чем m плюс эпсилон». Первое условие здесь означает, что m– нижняя граница множества, второе – то, что эта граница наибольшая. Почему так? Давайте представим, что у нас есть какое-то иное значение m, обозначим его m’:
То есть, если мы возьмем значение m чуть большее, то у нас уже нарушается первое условие.
Аналогично мы можем определить условие для супремума:
Еще можно добавить, если множество ограничено сверху, то точная верхняя граница только одна, аналогично и нижняя. И еще она может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему. Пусть, например, у нас есть множество X=[0,1). Эта запись означает, что X начинается с нуля, причем включает его, и заканчивается единицей, но ее не включает. То есть, x может сколько угодно быть близким к единице, но никогда не равен ей. В этом случае inf X=0 и sup X=1, но сам супремум не принадлежит X.
Теперь поговорим о множестве целых чисел. Точнее, об их подмножествах. Они тоже могут быть ограничены как сверху, так и снизу. Но тут добавляется еще одна фишка – они могут иметь наибольший элемент (при ограниченности сверху) и наименьший (при ограниченности снизу). И при том не важно, включает ли множество точную границу или нет. Например, пусть у нас есть подмножество целых чисел, заданное условием [1,100). Это все числа от 1 до 99 (так как число 100 не включено в подмножество). Тогда его наименьший элемент – это 1, а наибольший – это 99).
А теперь представим себе, что у нас есть некое множество натуральных чисел, и некое множество действительных чисел, и каждому натуральному числу сопоставлено определенное действительное число. Немножко забегая вперед, скажу, что сопоставление одних элементов множества другим элементам называется отображение одного множества на другое. В математическом анализе (и не только) с такими отображениями приходится иметь дело постоянно. В случае сопоставления натуральных и действительных чисел тоже имеет место отображение, и такое отображение называется числовая последовательность.
А теперь вспомним о пределах. Из прошлых уроков вы уже знакомы с такими понятиями, как предел и последовательность. Но мы изучали не строгие, а чисто интуитивные определения этих понятий. Теперь рассмотрим строгие определения.
Последовательность. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число
То совокупность чисел x1,x2,x3,…,xn,… называется числовой последовательностью и обозначается {xn}, а число xn называется n-ым элементом последовательности.
Предел последовательности. Число a называется предел последовательности {xn}, при
если
Перевожу на русский: для всех положительных эпсилон, существует такое N, что для любых n, больших этого n разница между a и значением последовательности меньше эпсилон. А теперь перевожу с русского на понятный. Допустим, есть у нас последовательность, например, такая 1,3,4,4.5,4.7,4.8,4.9,4.95,… Мы берем некоторое значение эпсилон, например, 0.5. И пусть число 5 у нас предел последовательности. Тогда мы можем найти некий номер числа в последовательности N, что разница между любыми следующими числами и 5 будет меньше 0.5. В данном случае это 4.5 под номером N=4. Следующее число 4.7 – разница меньше 0.5, потом идет 4.8 – разница меньше 0.5. И так до бесконечности, какой бы номер мы не взяли, между числом под этим номером и 5 будет всегда меньше 0.5. Если вдруг окажется, что это не так – то значит, неверное утверждение о том, что предел последовательности равен 5. Более того, какой бы даже очень-очень маленький эпсилон мы не брали, всегда должно быть в последовательности число, после которого все остальные числа отклоняются от предела меньше, чем на эпсилон. Например, мы могли взять одну миллионную, и где-нибудь через миллион чисел выполнится наше условие.
Вот так это можно представить графически:
По горизонтали у нас номер числа в последовательности, а по вертикали значение числа последовательности.
Так же определение предела последовательности можно сформулировать на языке окрестностей, который тоже часто используется в матанализе и в теории множеств:
От предыдущего определения это определение отличается только тем, что вместо условия «разница меньше a» у нас задано условие принадлежности к окрестности. Окрестностью точки называют множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному. В нашем случае это как раз условие:
Ну и в заключении, небольшой пример. Докажем, что
По определению надо найти такое число N, чтобы для любых n>N выполнялось условие
где
Выполним преобразования
Откуда
Заметим, что
Действительно, вычислим правую и левую часть для n=1
Для всех последующих n у нас знаменатель в левой части будет меньше, чем в правой, а числитель наоборот больше, отсюда и вся дробь будет меньше в левой части.
Выберем число N таким образом, чтобы при n>N выполнялось условие
Но тогда у нас будет выполняться и условие
Данное условие справедливо начиная с
Что и требовалось доказать.
Следующая глава: Математика для чайников. Глава 17. Численные методы