Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Предыдущая глава: Математика для чайников. Глава 13. Теория игр
Для того, чтобы понять, что такое производная, вспомним начальный школьный курс физики. А именно то, что касается движения. И так, в физике есть понятия расстояние, скорости, и времени. Если некая материальна точка (тело, размерами которого можно пренебречь), движется равномерно, то мы легко сможем узнать пройденное расстояние, умножив скорость на время. В этом случае закон движения тела выражается вот такой формулой:
Однако не всегда движение бывает равномерным. Но в любом случае, зависимость расстояния от времени выражается некой функцией. Например, в случае равноускоренного движения эта зависимость будет вот такой:
При равномерном движении скорость постоянная, при неравномерной она меняется со временим, то есть скорость является функцией от времени. Но что по сути такое скорость? По сути, скорость – это изменение расстояние в единицу времени (скорость изменения расстояния). По сути, если у нас меняется одна величина, не важно какая, то мы можем вывести понятия скорости изменения этой величины. Это и есть производная. То есть, если вернуться к физике, то скорость – это производная изменения расстояния по времени:
Теперь о том, как нам определить производную. Например, скорость движения какого-то тела. Очевидно, нужно пройденное расстояние разделить на время, за которое это расстояние пройдено. Но, при неравномерном движении скорость меняется. Как на определить скорость в какой-то конкретный момент времени? Очевидно, надо взять очень маленькое расстояние, и очень маленький промежуток времени. То есть:
В идеале промежуток времени должен быть бесконечно малым (нулевым). И тут мы вспоминаем пределы (Математика для чайников. Глава 11. Почему делить на нуль нельзя или кое-что о пределах и Математика для чайников. Глава 9. Основы матанализа). В этих уроках я уже писал о производной. Но сегодня мы рассмотрим это понятие более подробно. И так, вспомним формулу:
И давайте выведем формулу производной для константы. Это соответствует случаю, когда материальная точка неподвижна и находится на определенном расстоянии от начала координат. Кажется очевидным, что производная равна нулю – точка же никуда не движется, то есть, у нее нулевая скорость. Но в математике нет ничего очевидного. Все надо доказывать. Докажем и наше утверждение:
У вас может возникнуть вопрос. А почему нуль, деленный на бесконечно малую величину, равен нулю? Дело в том, что бесконечно малая величина – это не нуль. И по своим свойствам эта величина все-таки немного отличается от нуля. По сути, бесконечно малая величина – это ну очччень маленькая величина. И если мы разделим на нее нуль, то будет, внезапно … нуль. А не неопределенность, как при делении нуля на нуль. Кроме того, дробь 0/0 мы не можем сократить, а бесконечно малую, поделенную на бесконечно малую мы сократить можем. И тогда получается единица, что поможет доказать нам следующую формулу.
И так, а если у нас если точка движется равномерно? Очевидно, тогда производная будет равна скорости. Иными словами, производная аргумента, умноженного на константу, есть та самая константа. Докажем это:
Теперь рассмотрим производную суммы функций:
Что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать, что постоянный коэффициент можно вынести за знак производной:
И так, подведем некоторые итоги. Мы познакомились с физическим смыслом производной. Это скорость. Скорость изменения какой-либо величины (например, расстояния). Но на самом деле скорость может быть применима не только к расстоянию. Если у нас что-то меняется, то мы можем говорить о скорости изменения этого чего-то.
А теперь небольшое юмористическое отступление. Представите себе, что какой-нибудь политик говорит по телевизору: «Темпы роста инфляции уменьшились по второй производной». Давайте расшифруем, что это значит. Первая производная – это скорость. В нашем случае – скорость роста инфляции. То есть, инфляция растет с каждым днем, и с какой-то скоростью. И, судя по тому, что у нас есть вторя производная (это уже скорость изменения скорости), то с каждым днем инфляция растет все быстрее и быстрее. Но вот тем убыстрения быстроты снизился. Но инфляция все равно растет, и с каждым днем все быстрее и быстрее. Вот так хитрый политик плохую новость подал как хорошую. А все потому, что народ не знает математики, иначе быстро бы его раскусил.
А теперь я расскажу еще об одном смысле производной. О геометрическом смысле. Давайте представим себе график некоторой функции, и прямую, проходящую через две точки:
Если мы сблизим эти точки так, что они сольются в одну, то мы получим касательную. Так вот, тангенс угла наклона этой касательной (угловой коэффициент) это и есть производная.
Следующая глава: Математика для чайников. Глава 15. Теория графов. Введение.