Мы начнем наше знакомство с математикой с ответа на вопрос: «А что такое математика?». Казалось бы, глупый вопрос, всем известно, что математика – это цифры и все, что с ними связано. Это «житейское» определение математики, и оно далеко не самое точное. Алгебра – это тоже математика (один из ее разделов). Да, алгебра, тоже, как и арифметика, связана с цифрами, хотя и несколько слабее, так как там кроме цифр еще есть всякие иксы и игреки. Математический анализ – это как бы продолжение алгебры, и тут мы еще сильнее удаляемся от цифр. Внезапно, теория множеств, булева алгебра – тоже математика. И эти науки не связаны с цифрами! Если, конечно, не считать, что цифры тоже могут входить в множества как его элементы. А еще есть дифференциальное и интегральное исчисление, матрицы, вектора, теория графов, теория групп, всякие тензоры. Как не удивительно, но и геометрия – это тоже раздел математики!
Так что же такое математика? Давайте заглянем в Википедию и увидим вот такое определение: «Матема́тика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке». [1]. Это точно определение, но непонятное. Давайте разберемся. Что такое структура, порядок и отношения, думаю, более-менее ясно, но вот что такое «идеализация» и «математический объект» - это требует пояснения. Посмотрим опять в Википедию. «Математи́ческий объе́кт — абстрактный объект, определяемый и изучаемый в математике (или в философии математики)».[2]. «Идеализа́ция в обыденном смысле — это понятие, означающее представление о чём-либо (или о ком-либо) в более совершенном виде, чем это есть на самом деле. В науке этот термин используется в несколько отличном смысле: как один из методов познания, а именно — как далеко зашедшее абстрагирование». [3]
«Объект, идеализация, абстрагирование…» - недовольно пробурчите вы «Голова идет кругом». Но не спешите закрывать книгу, сейчас я все объясню простыми словами. Начнем с понятия «абстракция», так как именно абстракция является основой математики. Точнее, математические абстракции, ну, или математические объекты, так тоже можно сказать. Итак, что такое «абстракция»? Садитесь поудобнее, закройте глаза… хотя нет, глаза не надо закрывать, как же вы тогда будете читать? Но вот представить, что я вы сейчас прочтете, очень желательно. Хоть с открытыми, хоть с закрытыми глазами, как вам больше нравиться.
Итак, эта история случилась в давние давние времена, примерно два миллиона лет назад, когда люди еще были обезьянами лазали по деревьям. Вот и представим себе обезьяну. Она проголодалась и хочет расколоть кокосовый орех. Но не знает как. А ее сородичи уже освоили эту нехитрую операцию. Наша мартышка с завистью смотрит, как другие обезьяны колют орехи и поедают сочную мякоть. А она не может. Что же делать? Ей бы подойти и спросить: «Друзья вы мои дорогие, расскажите, пожалуйста, как колоть орехи?». Да вот только проблема – речь то еще не изобрели! И что тогда делать? А только наблюдать, как это делают другие. А потом попробовать повторить их манипуляции. По сути, используя внутреннее моделирование (воображение, подражание), научится делать что-то новое.
Но уже тогда зачатки речи были. Даже, собственно говоря, раньше. Примитивный язык есть и у животных, например, они могу определенным возгласом или жестами предупреждать друг друга об опасности, выразить симпатию или агрессию. Но вот обезьянкам, о которых шал речь в предыдущем абзаце, как вы убедились, такого количества слов в языке очень мало. Надо бы больше. Тем более, приматы самые умные (на тот момент животные), и у них явная потребность в более развитых видах коммуникации. А раз есть потребность – рано или поздно она будет удовлетворена.
Прошло два миллиона лет, без «хвостика». Обезьяны слезли с деревьев, научились делать каменные топоры, охотится на мамонтов, а также выживать в холодном климате сидя у костра и кутаясь в шкуру убитых животных. Понятно, что теперь и речь более развита, поскольку для того, чтобы завалить мамонта, нужно как-то договориться между собой, кто что будет делать, ибо в одиночку охотиться на такого зверя – верная гибель. Только группой, только коллективно. Но как? Как первобытные люди научились общаться? Как они изобрели речь, а затем и математические абстракции? Да да, без изобретения речи изобрести математику бы никак не получилось. Ибо для этого нужно абстрактное мышление, а не только внутреннее моделировать своих действий по колке орехов.
Давайте представим неких питекантропов, или еще каких-нибудь полулюдей полуобезьян, которые могут издавать возглас «Бу!», и, в зависимости от интонации, это «Бу» может означать агрессию, симпатию или предупреждать об опасности. Но если первобытные люди могли говорить «Бу», то им не составит особого труда сказать «Бум», имитирую звук удара каменным топором. И вот у них уже есть новый возглас, означающий, что нужно воспользоваться этим инструментом. А потом кто-то додумался, что «Бум» - это стукнуть топором, а кинуть его (ну или что-то иное, например, камень) – это «Тыдыщь».
Теперь смотрите. «Бум» означает не только удар топором, но и удар палкой. Или удар кулаком. Камень скатился с горы. Тоже «Бум». И вот у нас одно слово обозначает несколько вроде как не связанных между собой событий, но у них есть нечто общее, которое является смыслом возгласа «бум». Так вот, это общее – и есть абстракция. Только тогда, когда наши далекие предки научились вычленять из предметов и явлений нечто общее и обозначать их различными наборами звуков, появилась связная речь. Но до математики было еще далеко. Еще предстояло изобрести кучу новых абстракций, а также письменность. Но пусть первобытные люди развиваются, пусть их история идет своим чередом. А мы пока более детально разберемся с абстракциями.
Если дать этому термину строгое определение, то абстрагирование — отвлечение в процессе познания от несущественных сторон, свойств, связей объекта (предмета или явления) с целью выделения их существенных, закономерных признаков. Результат абстрагирования — абстрактные понятия, например: цвет, кривизна, красота и т. д. Какие бывают абстракции? Например, цвет. Мы говорим – трава зеленая. Листва тоже зеленая. И елки зеленые. Это признак, который общий для всех этих объектов. А что, например, общего у костра, звезды и лампочки? Все эти объект излучают свет. Поэтому мы можем объединить их в группу «Светящиеся объекты».
Самое интересно, что может быть абстракция над абстракциями. Например, есть слово «кошка». Под этим словом подразумеваются все кошки, и ваша конкретная кошка, и кошка у соседа. И вот эта драная кошара, громко мяукающая на улице. А еще абстракция «кошка» объединят в себе милых котиков на выставке. Более общая абстракция «животные». В нее входят собаки, волки, зайцы и прочие лесные звери, а также слоны, тигры и другие обитатели джунглей. Но и животные принадлежат к более общей абстракции «живые существа».
А теперь перейдем к очень интересной абстракции. Это абстракция безразличия. Когда между объектами нет разницы. Вот представим апельсин. И второй апельсин. Они разного размера. Но если мы абстрагируемся от размера, то что у нас будет? Правильно, для нас эти апельсины будут одинаковы, коль размер не имеет значения. Это и есть абстракция безразличия.
А теперь зададим себе вопрос: «А есть ли разница между одним и двумя апельсинами?» А между двумя или тремя? Тут уже разница в количестве. Если количество важно, тогда разница есть. Но между теми объектами, которые мы считаем, разницы нет. Иначе мы их не сможем посчитать. Если у нас два апельсина и одно яблоко, мы не может сказать что у нас три чего-то там. Для этого нам надо перейти на абстракцию выше и тогда различия исчезнут, и мы сможет утверждать, что у нас три фрукта (каких – не важно).
А теперь вернемся к нашим питекантропам. Они уже давно стали людьми, пережили ледниковый период. Открыли сельское хозяйство, стали выращивать хлебные злаки, освоили скотоводство. И вот пасет пастух овец. Он за ними зорко следит, чтобы ни одной не потерять. А как убедиться что все овцы целы? Говорите, сосчитать. А у нас пастух не грамотный, он считать не умеет. Да и никто в то время не умел, счет еще вообще не изобрели. И что же ему прикажите делать? Есть идеи? А у пастуха есть. Он взял камешки и, указывая пальцем на каждую овцу, положил камешек в кучку. А потом стал перемещать камешки в другую кучку, точно также указывая на каждое животное.
С этого момента произошло нечто важное. Была изобретена унарная система счисления. Грубо говоря, вместо камешков могли быть палочки. Или косточки. И отождествлять их можно не только с овцами, но и с какими-либо другими предметами. А можно взять пластинку из мягкой глины и делать на ней зарубки – это еще один шаг к изобретению математических абстракций. А еще можно взять кучку камешков и смешать с другой кучкой, тем самым совершив операцию сложения. Или отнять камешки из кучки – вычитание.
Вернемся к нашему пастуху. Он хоть и не грамотный, но далеко не дурак и понимает, что две овцы лучше, чем одна. Правда, он еще не знает слова «одна» и «две». Но разницу видит. А слова придумали позже, так как эти абстракции нужно как-то отличать. Потом появилось понятие «три», «четыре». А когда настала очередь такого количества, которое уже не различается, придумали слово «много». Кстати, от этого слова происходит такое понятие, как «множество», до которого мы, конечно же, еще доберемся.
Итак, люди изобрели цифры – математические абстракции, обозначающие количество однородных предметов. Они понимали, что два больше, чем один, а три еще больше, чем два. Возможно, знали цифру четыре и даже пять. Но до скольки же они умели считать? Предполагается, что до семи. Почему? Потому что количество абстракций, которые человек может удержать единовременно в сознании – семь плюс минус два. То есть, кто то и пять абстракций еле еле удерживает, а кто-то может держать целых девять. Но в среднем – семь. Как я уже сказал, все, что больше числа, до которого древний человек умел считать – это «много».
А теперь представьте, встречаются пастух и хлебороб. И первый говорит второму:
- Слушай, а давай меняется, ты мне мешок хлеба, я тебе овцу.
Тот почесал «репу», вспомнил, что зерна у него целый ангар, а вот овец нет вообще. А хорошо бы иметь овцу, можно шерсть с нее взять и полушубок на зиму сшить, а можно зарезать и съесть, ибо как-то не айс одним хлебом питаться, без мяса. Ну и говорит:
- А что, давай, махнемся не глядя! Хотя, подожди… а может, поменяемся не один на один, а два на два?
Пастух подумал, что овец у него много, а два и два – это одно и тоже (одинаковые абстракции) и согласился.
Но как быть в случае, когда предлагают меняется «много» на «много»? Нам, современным людям, кажется очевидным, что «много» не всегда равно другому «много». Но древние люди могли этого не знать. По крайней мере, до тех пор, пока однажды какой-нибудь ушлый делец не догадался, что за «большое много» можно отдать «маленькое много». Но хитрил он так не долго. Рано или поздно, сородичи догадались, что их нагло обманывают. И тогда люди поняли, что «много» может быть разным, и эти разные «много» нужно как-то обозначать. Таким образом, возникал потребность в новых математических абстракциях.
Итак, подытожим. Мы теперь знаем, что такое абстракция, что такое математическая абстракция и знаем, как появляются новые математические абстракции: их придумывают люди, чтобы облегчить себе жизнь, и придумывают тогда, когда появляется потребность в такой абстракции. В следующей главе мы как раз сделаем экскурс в историю и познакомился с тем, как и когда возникали математические абстракции.
Следующая глава: Глава 2. Заглянем в историю.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1
1. Википедия. Статья «Математика». (https://ru.wikipedia.org/wiki/Математика).
2. Википедия. Статья «Математический объект». (https://ru.wikipedia.org/wiki/Математический_объект)
3. Википедия. Статья «Идеализация». (https://ru.wikipedia.org/wiki/Идеализация)