Предыдущий урок: Математика для чайников. Глава 2. Заглянем в историю.
Мы уже затронули тему философии арифметики в первой главе, где говорили о том, что такое математическая абстракция. И там же мы познакомились с такой абстракцией, как количество. И сейчас мы рассмотрим ее более подробно. Формальное определение количества звучит так: «Количество — категория, выражающая внешнее, формальное взаимоотношение предметов или их частей, а также свойств, связей: их величину, число, степень проявления того или иного свойства». Если говорить иными словами, то количество – это свойство нескольких предметов, от качества которых мы абстрагировались. Если нам не важен размер апельсинов, то мы можем сказать их количество. Один апельсин, два три или какое-то определённое число. Если важен размер, то нам придется отдельно считать, например, большие, отдельно маленькие апельсины.
Есть и другие определения количества. Например, у Аристотеля «Количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо». По Гегелю, «количество» отличается от «качества» тем, что при качественном изменении вещь однозначно становится другой, а количественное изменение до поры до времени может и не превращать вещь в другую.
С понятием количества тесно связано понятие числа. Число — одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. То есть если количество это свойства предметов от качества которых мы абстрагировались, то число – это конкретная оценка этого самого количества. И числа бывают самые разные. Например, натуральныечисла. Они называются натуральными, потому что через них можно что-то выразить "в натуре", то есть, что-то сосчитать. Вот есть два яблока. Их можно сосчитать. Имеется пять коробок конфет. Их можем можно сосчитать. Иными словами, натуральные числа - это числа, при помощи которых мы можем считать конкретные предметы. Вы прекрасно знаете, что эти числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Со сложением и умножением все понятно. Было два яблока, добавили три, стало пять. Взяли три коробки конфет по 10 штук в каждой, значит, всего тридцать конфет. А вот теперь перейдем к целым числам. Если натуральные числа обозначают конкретное количество предметов, то во множество целых чисел вводятся абстракции. Это нуль и отрицательные числа. И это действительно абстрактная абстракция. Нуль - это отсутствие чего либо. Но можем ли мы потрогать, пощупать того, чего нет. Вот два яблока мы можем пощупать, вот они. Мы их можем даже съесть. А что значит нуль яблок? Мы можем потрогать, пощупать этот нуль? Нет, не можем. Надо же как то обозначать отсутствие чего либо. Вот и обозначили цифрой нуль. Но зачем это как то обозначать? Давайте представим, что у нас было два яблока. Мы съели два. Сколько у нас осталось? Правильно, нисколько. Эту операцию (съели два яблока) мы запишем как вычитание 2-2. И что в итоге то у нас полупилось? Как нам обозначить результат? Только введя новую абстракцию (нуль), которая обозначат, что в результате вычитания (съедения) получилось, что у нас не осталось ни одного яблока.
Но мы из двух можем вычесть не 2, а 3. Казалось бы, эта операция бессмысленна. Если у нас только два яблока, как мы сможем съесть три?Рассмотрим другой пример.Мы идем в магазин за пивом. У нас с собой 100 рублей. Пиво стоит 60 рублей за бутылку. Нам хочется купить две бутылки, но денег у нас не хватает. Нам надо 120 рублей. И тут мы встречаем своего давнего приятеля и занимаем у него двадцатку. Покупаем пиво. Вопрос.Сколько у нас осталось денег? Здравый смысл подсказывает, что нисколько. Но с точки зрения математики это будет неверно. Почему? Потому что для того, что бы получить в результате нуль, нужно из 100 отнять 100. А мы делаем 100-120. Тут у нас должно получиться что то другое. А что у нас получилось? А то, что мы еще должны приятелю 20 рублей. В следующий раз, когда у нас будет с собой 140 рублей, мы придем в магазин за пивом, встретим приятеля, рассчитаемся с ним по долгам и сможем купить еще две бутылки пива. В итоге у нас получается 140-120-20=0. Обратите внимание на -20. Это очередная абстракция - отрицательное число. То есть, наш долг перед приятелем - это число со знаком минус, потому, что когда мы долг отдаем, мы эту сумму вычитаем. Скажу больше, это еще большая абстракция, чем нуль. Нуль обозначат чего то, чего нет. А отрицательное число - это как бы то, что у нас будет отнято в будущем.
Итак, мы с вами разобрались с абстракциями «ноль» и «отрицательные числа». Теперь перейдём к рациональным числам. Но сперва вспомним такую операцию, как деление. Например, у нас есть шесть апельсинов. Надо раздать их трем людям так, чтобы все досталось поровну. Как это сделать? Операцией деления: 6/3=2. Заметим, что деление – это операция, обратная умножению. Если мы умножим 2 на 3, то получим 6. По сути, деление – это нахождение такого числа, на которое нужно умножить делитель, чтобы получить делимое. Естественно, не всегда у нам может так хорошо разделиться, как в данном примере. Если у нас семь апельсинов, то вы не сможете разделить их на троих. Вы можете раздать каждому по два апельсина, и один останется лишний. Что с ним делать? Можно разрезать апельсин натри равные части (ну, или почти равные) и раздать тем троим эти дольки. А теперь внимание! Мы только что применили новую абстракцию: дроби! «А при чем тут рациональные числа?» - спросите вы. А при том, что рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби. Например, то количество апельсинов, который получит каждый при делении семи апельсинов межу троими, это 2 и 1/3. Или 7/3. Частный случай рациональных чисел – это десятичные дроби. Например, 7.12 (7 целых двенадцать сотых). По сути это дробь 712/1000.
Кстати, Пифагор, тот самый, чьим именем названа известная каждому школьнику знаменитая теорема из геометрии, верил, что все в мире можно выразить рациональными числами. Ему так же приписывают создание такого древнего учения (ныне считающегося лженаучным) как нумерология. Но в те времена идея о числовой сущности мира позволила разработать проект «оцифровки бытия», способствовала развитию математики. Надо сказать, что Нумерологию Пифагора сравнивают с идеей о том, что окружающий людей физический мир является «матрицей», в основе которой лежат числа. Согласно учению Пифагора, внутри матрицы нет возможности увидеть числовую суть бытия, числовая сущность мира доступна душе только после смерти, когда она выходит из тела. Пифагорейцы утверждали, что математика даёт возможность припомнить прежний опыт и постичь истинную реальность. В данном случае математика выступала основой метафизики.
А теперь перейдем к следующей абстракции – иррациональным числам. Как оказалось, не все числа можно выразить как рациональное число. Например, чему равна диагональ (гипотенуза) прямоугольного треугольника, со сторонами 1 и 1:
Согласно теореме Пифагора:
Напомню, что корень – это операция, обратная возведению в степень. А возведение в степень – это несколько раз умножить число само на себя (количество раз равная показателю степени). Степень 2 – умножение самого на себя – это возведение в квадрат. Квадратный корень – это нахождение такого числа, которое при умножении само на себя даст число, из которого извлекаем корень. Существует множество разных способов, как извлечь квадратный корень (без калькулятора), некоторые из них мы рассмотрим в будущих уроках. Корень из двух это примерно 1.41. Если точнее то 1.414. Еще точнее 1.4142136. Уточнять мы можем до бесконечности, но никогда не достичь абсолютной точности. Ибо корень из 2 – число иррациональное.
Теперь докажем, что корень из двух число иррациональное. Любое рациональное число можно представить как дробь m/n. Предположим, что корень из 2 число рациональное, тогда мы можем представить его в виде несократимой дроби:
Мы можем возвести обе части равенства в квадрат, от этого оно все равно будет справедливо:
Или
Это значит, что число m^2 – четное. Значит и m тоже четное, так как квадрат четного числа – всегда четный (например, 2 в квадрате это 4, 4 в квадрате 16 и так далее). Тогда его можно представить как 2k, где k – нечетное число. Тогда:
Далее, мы можем сократить на 2:
И что у нас получается? А у нас получается:
То есть n – тоже четное (так как n^2 четное). У нас получается, что и в числителе, и в знаменателе четные числа. Но тогда дробь сократимая, что противоречит условию. Обычно в этом случае говорят: «что и требовалось доказать». Но я скажу чуть больше. Если n – четное, то мы его можем представить, например, как 2w, и тогда:
Мы опять сократим и получим:
Откуда
То есть, теперь у нас получается, что и k – четное! И мы пошли по второму кругу. Далее, у нас получиться, что знаменатель четный, потом опять числитель, потом опять знаменатель и там мы можем «скакать» туда-сюда до бесконечности. Иными словами, мы никогда не сможем представить корень из 2 в виде несократимой дроби.
На самом деле это еще не все. Существуют еще другие типы чисел, например, трансцендентные числа, а так же комплексные числа. Но сейчас мы не будем вдаваться в такие дебри, по крайней мере, пока не изучим многочлены, к которым эти типы числе имеют непосредственное отношение.
Следующая глава: Математика для чайников. Глава 4. Алгебра