Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Предыдущий урок: Математика для чайников. Глава 10. Линейная алгебра
В школе вам твердили, что делить на нуль нельзя. Но мало кто объяснил, почему, по крайней мере, до тех пор пока вы не дошли до темы «Пределы». Пределы, это, по сути, основа математического анализа, это было очень хорошо показано в главе 9. Основы матанализа . Поэтому очень важно научиться правильно их решать.
Но вернемся к делению на нуль. Что вообще такое деление? Деление, это операция, обратная умножению. То есть, нужно найти такое число, некоторое нужно умножить делитель, чтобы получить делимое. Например:
У нас делимое 15, делитель 3. На какое число надо умножить 3, чтобы получить 15? Очевидно на 5. А если мы попробуем вот так:
На какое же число надо умножить нуль, чтобы в итоге получилось 15? Нет такого числа. Любое число, умноженное на нуль, равно нулю. Поэтому то и делить на нуль нельзя. Да, нельзя. Но если очень хочешь то можно. Для этого надо просто ввести новую абстракцию – бесконечность. Она обозначается положенной на бок восьмеркой. То есть, теперь мы смогли разделить на нуль:
Но что такое бесконечность? А это такой хитрый математический объект, который обозначает бесконечно большое число. Которое, кстати, вовсе и не число. Почему не число? А потому, что на нее не действуют правила математики, справедливые для чисел. Если вы отнимете единицу от какого-то числа, то это будет число, меньшее на единицу, например 15-1=14. Но если вы отнимите от бесконечности единицу, то будет…. внезапно… бесконечность. Почему так? Потому что бесконечность – бесконечная. Сколько раз надо прибавить единицу к какому-либо числу, чтобы получить бесконечность? Надо прибавить бесконечность единиц. А бесконечность единиц – это тоже, внезапно… бесконечность. Таким образом, если мы прибавим к любому числу бесконечность, то будет бесконечность. Так же мы можем умножать любое число на бесконечность, тоже будет бесконечность. А делить? И разделить можно. Но только, при делении бесконечности на любое число, все равно останется бесконечность. А если бесконечность поделить на бесконечность? А вот тут может поучиться любое число. Смотрите:
Но у нас любое число, умноженное на бесконечность, дает бесконечность. Значит x – может быть любым числом. Это называется неопределенность . Существуют разные виды неопределенностей, вот некоторые из них:
Когда может возникнуть данная неопределенность? Возьмем, к примеру, предел из главы 9 «Основы матанализа»:
Здесь мы имеем дело с неопределенностью
Которую мы раскрыли путем разложения на множители. Рассмотрим другой пример. Как насчет вот такого предела:
Если мы подставим напрямую, то как раз будет такая неопределенность:
Если вы знаете как считать производные, то такие пределы решаются очень просто: нужно применить правило Лопиталя:
Попробуем применит это правило здесь:
Чтобы убедиться, что решено правильно, решим еще другим способом – разложением на множители. Для этого вспомним формулу корней квадратного уравнения:
Решим для первого многочлена:
Для второго:
Напомню, что квадратный трехчлен при a =1 раскладывается таким образом:
Проверим, правильно ли мы разложили на множители:
Как видим, правильно. Теперь попробуем решить предел:
Мы получили тот же самый результат.
А как насчет раскрыть неопределенность вида
Например, такую:
Для этого разделим числитель и знаменатель на x с наибольшим порядком, в нашем случае это
Зачем? Тогда члены с наибольшим порядком станут равными 1, а остальные можно приравнять к нулю, потому что:
Итак, решаем:
Напомню, что означает минус перед степенью:
Кстати, неопределенность
Тоже можно раскрыть при помощи правила Лопиталя. Правда, в нашем случае это будет более долгий путь. Но давайте попробуем и сравним:
Как видите, результат получился точно такой же.
На этом пока все, но к теме пределов мы еще вернемся в будущем, чтобы рассмотреть более сложные случаи.
