Когда мы складываем числа, увеличивая каждое следующее слагаемое на одну и ту же положительную величину, то мы будем получать всё большие значения с каждым новым слагаемым. Например, сумма всех натуральных чисел от 1 до 10 равна 55, от 1 до 100 будет 5050 и вследствие увеличения верхней границы сумма будет становиться больше. Логично предположить, что сумма чисел от 1 до бесконечности даст бесконечно большое число, но если провести расчёты, мы получим значение -1/12. Одно дело если бы мы получили некое конечное число со знаком “плюс” хоть и это вызывает диссонанс, другое дело, когда мы получаем дробь со знаком “минус” что выглядит вовсе абсурдно, ведь как можно при сложении положительных чисел получить отрицательное. В этой статье немного разберём, как вообще математики получили такое значение.
Для этого сначала стоит разобрать, как выглядят некоторые другие суммы. Начнём с такой: 1-1+1-1+1-1….. Это бесконечная сумма единиц и минус единиц, которые чередуются. Если бы мы знали, каким знаком заканчивается данный числовой ряд, то мы бы без проблем сказали каково его финальное значение, но данный ряд бесконечен. Давайте обозначим данную совокупность чисел как А, для удобства. Для того чтобы вычислить сумму, после первого элемента вынесем минус, как показано на рисунке ниже. Так как ряд чисел бесконечный, то выражение в скобках также будет суммой А и после обычных алгебраических вычислений получим, что А=½, если конкретнее, то 1-1+1-1+1-1+1…=1/2
Теперь давайте посчитаем следующий ряд: 1-2+3-4+5-6+7-8+... Назовём этот ряд числом Б и теперь прибавим к нему уже подсчитанный ряд А=½, но добавим начиная со второго элемента так, как показано на схеме ниже. Тогда получим, что от единицы отнимается тот же ряд Б. После обычных алгебраических действий получим Б=¼
Ну и наконец тот самый ряд — сумма всех натуральных чисел, обозначим его Х. Х=1+2+3+4+5+6+7+8+9+… Отнимем от него выше упомянутый ряд чисел Б=¼ . В результате мы получим: 1-1+2+2+3-3+4+5-5+6+6+7-7…, и для простоты, перепишем это как на картинке ниже. В итоге выйдет, что наша сумма всех натуральных чисел Х отнять ¼ будет равно 4+8+12+16… Выйдет сумма всех чисел кратная четырем, откуда как раз и вынесем 4 за скобку, а в скобках получим 1+2+3+4…, то есть тот самый ряд Х, ну и после упрощений, показанных ниже, получим Х=-1/12. Так как Х=1+2+3+4+5+6…, то сумма всех натуральных чисел равна -1/12.
Во всём этом примечательным является то, что данный факт о сумме чисел используется во многих физических статьях, особенно в квантовой механике, например, им оперируют многие статьи о теории струн, а также благодаря ему был объяснён Эффект Казимира. Конечно, можно и стоит ставить под сомнение факт того, что сумма всех натуральных чисел равна отрицательному числу, и возможно это недостаток методов подсчёта рядов, но то, что число -1/12 используют во многих научных статьях, и это работает, говорит о многом.
Автор: Владислав Кигим. Редакция: Фёдор Карасенко.
Ставьте палец вверх, чтобы видеть в своей ленте больше статей о космосе и науке!
Подписывайтесь на мой канал здесь, а также на мои каналы в телеграме и на youtube. Там вы можете почитать большое количество интересных материалов, а также задать свой вопрос. Поддержать наш канал материально можно через patreon.