Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Давненько не было на канале этюдов, касающихся преподобной матери математики - теории множеств (кто читал "Дюну", наверняка поняли отсылку).
Сегодня я хочу предложить Вам головоломку, в которой скрыто одно из ключевых утверждений этой области знаний. Поехали!
Итак, пусть в круге есть 1000 черных точек и одна белая. Определите, чего больше: треугольников с вершинами в черных точках или четырехугольников, у которых одна вершина белая, а остальные три - черные. Выглядит это вот так:
Визуально кажется (во всяком случае по рисунку), что треугольников явно больше, ведь они не привязаны к одной-единственной белой точке, но наблюдение обманчиво.
Действительно, давайте рассмотрим каждый из четырехугольников, образованных белой точкой:
Оказывается, что каждому четырехугольнику соответствует ровно один треугольник, образованный его остальными черными вершинами, а значит их равное количество.
Только что Вы видели графическую формулировку одного из главных принципов теории множеств:
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то в них одинаковое количество элементов.
Взаимно-однозначно - значит каждому элементу первого множества соответствует ровно один элемент второго, и наоборот.
Замечательно, что данный принцип действует и тогда, когда множество содержит бесконечное множество элементов. Один из первых в мировой науке случаев нахождения такого "парадоксального" соответствия принадлежит Галилео Галилею.
Сопоставив ряд натуральных чисел и последовательные полные квадраты, Галилей фактически образовал между ними взаимно-однозначное соответствие.
Следовательно, хоть и полные квадраты сильнее "раскиданы" по числовой оси, их всё равно ровно столько же, сколько и всех натуральных чисел.
Такие множества, каждый элемент которых можно сопоставить натуральному числу, называются счетными бесконечными.
Если в описанном выше случае никаким парадоксом совсем и не пахнет, то дальше история закрутилась в новый узел уже с несчетными множествами.
Георг Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между отрезком и квадратом. Результат, полученный немцем, оказался настолько парадоксальным, что в письме к другому апологету теории множеств Рихарду Дедекинду, он прямо написал:
"Как мне кажется, на этот вопрос следует ответить утвердительно, хотя и на протяжении многих лет я придерживался противоположного мнения"
Об этом удивительном факте так же читайте в моём блоге: