Давайте познакомимся с решением ОТО, которое получил Гёдель. О нем мало что можно найти, помимо ставшего стандартным набора сведений, который я не буду повторять.
Доступна статья самого Гёделя и на нее мы и будем опираться. Она называется "Пример нового типа космологических решений уравнений гравитационного поля Эйнштейна".
Итак, космологические решения, как правило, имеют абсолютное время. Абсолютное в том смысле, что имеется однопараметрическое семейство трехмерных пространств, повсюду ортогональных мировым линиям частиц вещества. Иными словами, есть пространство и есть время, и время для всех наблюдателей корректно определено. Относительность при относительном движении — это само собой. Речь сейчас о неподвижных наблюдателях, или подвижных, но связанных формулами Лоренца — эти оговорки в дальнейшем опускаем.
Как мы уже обсуждали, вращение является довольной сложной штукой, и синхронизация часов на вращающемся диске и даже кольце невозможна. Гёделю это уже было известно и он прямо пишет, что отсутствие абсолютного времени равносильно вращению. И он предлагает решение, обладающее таким вращением.
Свойства у решения следующие:
1. Пространство-время однородно: для любых двух точек найдется преобразование пространства-времени, переводящее одну в другую. С точки зрения физики это означает, что решение стационарно и пространственно однородно.
2. Имеется однопараметрическое преобразование, переводящее каждую мировую линию (4-траекторию) в себя. Это, по сути, сдвиг по времени. И отсюда следует, что мировые линии эквидистантны: расстояние между частицами вещества не меняется. Конечно, если вещество не движется в силу своих каких-то причин.
3. Имеется вращательная симметрия: для любой точки пространства-времени существует однопараметрическая группа преобразований, оставляющая точку на месте. Обратите внимание: для любой точки.
4. Все времени-подобные и светоподобные векторы можно разделить на два класса, + и -, так, что если вектор b относится к одному, то -b к другому, и предел последовательности векторов одного класса, если не нулевой, принадлежит к тому же классу. Это означает, что можно задать положительное направление времени. Тогда для любой мировой линии вещества или световой линии можно говорить о времени, различая, какая из двух точек на ней раньше, а какая позже. Однако для любых двух точек-событий (без указания линии) такого упорядочивания по времени нет.
5. Точнее, невозможно приписать время t каждой точке таким образом, чтобы t возрастало при произвольном движении в положительном направлении времени.
6. Любая мировая линия является открытой кривой бесконечной длины, которая не приближается ни к одной своей точке повторно. Проще говоря, любая частица вещества движется во времени из прошлого в будущее. Однако существуют замкнутые времени-подобные линии. Это не мировые линии, то есть не геодезические: придется двигаться с ускорением. Но можно попасть в прошлое. Строго говоря: если P, Q — две точки на мировой линии частицы, и P идет раньше Q, то найдется времени-подобная кривая, соединяющая P и Q, на которой Q идет раньше P.
Я позволю себе отступление. Вот есть потенциальные силовое поле: работа в таком поле не зависит от пути, а только от начальной и конечной точки. А сила трения не потенциальна, и о работе ее можно говорить только при указании пути.
Можно вспомнить, что точки, разделенные пространственно-подобным интервалом в СТО, могут идти во времени в разном порядке в зависимости от системы отсчета; но здесь-то времени-подобный интервал.
Еще можно припомнить гистерезисы, когда результат плавного изменения пары параметров различен в зависимости от способа изменения...
7. Не существует пространственно-подобных трехмерных пространств, которые пересекали бы каждую мировую линию ровно один раз. То есть, нельзя разложить пространство-время на пространство и время.
8. Если задать семейство Σ трехмерных пространств так, чтобы они пересекали каждую мировую линию ровно один раз, то найдется преобразование пространства-времени, сохраняющее положительное направление времени, но не переводящее Σ в себя. Это означает отсутствие абсолютного времени. Абсолютность означает, что время определяется не через отдельных наблюдателей.
То есть, вот у Гёделя "всё относительно" воистину! Даже неподвижные наблюдатели не обязательно смогут согласовать часы.
9. Частицы вещества вращаются относительно "компаса инерции": в современных терминах это гироскопы.
Гёдель просто выписывает метрику, точнее, линейный элемент: квадратичную форму для интервала через дифференциалы координат. Она довольно необычная:
a²((dt + exp(x)dy)² - dx² - 0.5exp(2x)dy² - dz²).
Здесь a — положительная константа. Она описывает вращение и она же выражает кривизну всего пространства-времени как целого.
Эту метрику можно преобразовать к другому виду, который проще для подстановки в уравнение. Вычисляем символы Кристоффеля, компоненты тензора Риччи, скалярную кривизну (она равна 1/a²) и подставляем всё в левую часть уравнения Эйнштейна.
При этом получается некоторый тензор энергии-импульса, на который надо посмотреть: какой он.
А он содержит неподвижное вещество с постоянной плотностью и отрицательную космологическую постоянную, значение которой по модулю вдвое меньше этой плотности. В итоге гравитация плотности и гравитация за счет космологической постоянной вместе компенсируют центробежные силы вращения.
В общем, рецепт несложен: бери метрику и подставляй в уравнение. Но в большинстве случаев получится нефизичный, несимметричный, необычный тензор энергии-импульса. А здесь вполне приятный получился.
Доказательства, что решение обладает нужными свойствами, совсем короткие, но требуют подготовки. Так, отсутствие семейства трехмерных сечений, перпендикулярных к оси времени, вытекает из нулевой завихренности поля 4-скорости, то есть единичного касательного вектора u к направлению времени. Расчет показывает, что ротор не равен нулю, что понятно уже из того, что имеется вращение. Это свойство 7. Заодно и 9.
Свойства 1 и 2 проверяются непосредственно. Свойство 4, то есть классификация направлений, очевидным образом сводится к вектору u.
Свойство 3 доказывается переходом к другим координатам, вроде цилиндрических, в которых метрика не зависит от угловой координаты, что и означает вращательную симметрию.
В этих координатах можно (при фиксированных z и t) найти круг такого радиуса, что он окажется светоподобным. Круги больше будут времениподобны. Вот и путешествие во времени: полет по такой траектории в пространстве будет движением во времени. Это если простыми словами. Для вращающегося диска у нас есть ограничение на радиус: линейная скорость не может быть больше скорости света. Здесь Гёделю удалось это обойти (противоречий, конечно, не возникает): вселенная бесконечна, сверхсветовых скоростей нет, а вот замкнутые времениподобные линии — есть.
Совершенно строго строится времениподобная траектория, на которой две точки идут в обратном порядке. Причем из-за однородности пространства это можно сделать для любого "места", если можно сделать для какого-то одного.
Это свойство 6, и отсюда вытекает и 7, и 5.
Последнее свойство, которое осталось доказать, это 8. Оно доказывается немного технично, но несложно.
Все пространство-время является произведением трехмерного пространства-времени на ось z, а это 2+1-мерное пространство-время получается из псевдосферы (пространство постоянной положительной кривизны) некоторым растяжением метрики.
Забавно увидеть отсылку к Лобачевскому (Гёдель австриец и родной язык его — немецкий: Lobatchefskian plane).
Интересно, что в статье Гёделя нет списка литературы, есть только сноски.
Что еще можно сказать? Лучи света, выпущенные с оси вращения, возвращаются на нее в более поздние моменты времени. То есть наблюдатель увидит себя в прошлом.
Замкнутые времени-подобные кривые не являются геодезическими: чтобы двигаться по ним, необходимо ускоряться.
Однако они проходят через каждую точку в пространстве-времени, полностью лишая смысла понятия "прошлого" и "будущего". Хотя направление у времени есть.
Своя ось симметрии есть у каждого наблюдателя, хотя это реально сложно себе представить.
Позже было показано, что если дополнить пространство Гёделя бесконечно удаленной точкой, превратив его в проективное пространство, то многое становится проще. Так, там возникает лента Мёбиуса, а ведь движение по ней вдоль края означает вращение вокруг центральной линии без ее пересечения.
Неориентируемость Ленты объясняет и обратимость времени: если сложить две Ленты, то явно есть "верх" и "низ", но пройдя по замкнутому пути, можно обнаружить, что верх и них поменялись местами.
Четырехмерное проективное пространство описывается пятью координатами, но с точностью до постоянного множителя (что сводит число степеней свободы до 4). Гравитация при этом не меняется, а вот лишнее уравнение описывает электромагнетизм. Аналогично вписал его в ОТО Калуца, добавив одно измерение. Тогда его некуда было "деть", но потом это нашло блестящее применение в теории струн.
Вы видите, как все крутится вокруг одной пока не раскопанной истины?
О философском смысле решения Гёделя поговорим в одной из следующих заметок.
