Начало в статье «Как научить ребёнка видеть решение прямо в тексте задачи? За 43 года преподавания узнал ответ»
Оказывается, текстовые задачи из курса школьной математики вполне могут решать себя сами. Посмотрим, как они это делают, на примере задачи из профильного ЕГЭ.
Вот текст задачи.
Чтобы задача сама себя решила, её надо как минимум
- прочесть,
- понять, о чём речь, и
- перевести на язык математики.
Мы прочли и поняли, что речь о работах и бригадах. Теперь переведём текст задачи на язык математики
Для этого составим словарь-минимум, то есть введём обозначения неизвестных величин. Для простоты будем обозначать все неизвестные величины, о которых идёт речь.
Начнём с того, что просят найти
«Пусть на выполнение заказов потребовалось t дней».
Поскольку оба заказа начали выполнять одновременно и выполнили одновременно за одно-единственное количество дней, одной буквы вполне достаточно. Ни о каких других промежутках времени в задаче речь не идёт. Традиционное обозначение времени — t. Видимо, от слова time.
О чём еще идёт речь? О каких величинах, имеющих численное значение? О производительности труда (квалификация рабочих) и величине заказа.
Одинаковая квалификация рабочих говорит о том, что одной буквы для обозначения будет достаточно. Производительность труда — это скорость выполнения работы. Её мне удобно обозначить V, как традиционно обозначают скорость (velocity).
Для обозначения работы тоже достаточно одной буквы, поскольку заказы одинаковы. Работу традиционно обозначают А. Возможно, от слова Arbeit.
С работой в этой задаче возникает небольшая проблема. В чем её измерять? Время в задаче измеряется в днях. Это прямо указано в тексте. А в чём заключается заказ, который выполняют наши бригады? Мы этого не знаем, поэтому назовем единицы измерения работы просто условными единицами.
«Пусть производительность труда каждого рабочего равна V условных единиц в день, а величина заказа равна А условных единиц».
Почему такие странные буквы, а не икс и не игрек?
Мне хочется, чтобы словарь был удобным. Икс и игрек — самые заезженные буквы, не вызывающие никаких ассоциаций с конкретной задачей. Мне придётся прикладывать дополнительные усилия, чтобы постоянно удерживать в голове, что такое X и Y именно в этой задаче. Это лишняя нагрузка, усталость и, как следствие, ошибки по невнимательности.
Словарь готов, приступаем к переводу
Задача о работах, значит, будем подсчитывать работы.
- «Две бригады» наводят на мысль, что придётся подсчитывать работы минимум два раза, для каждой бригады по отдельности.
- «Cостоящие из рабочих одинаковой квалификации» мы уже учли, когда обозначили производительность труда каждого рабочего одной буквой V.
- «Одновременно начали выполнять два одинаковых заказа» мы учли при обозначении времени t и работы A.
- «В первой бригаде было 13 рабочих, а во второй —14 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 4 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно».
Начинаем подсчёт работ
Разберёмся для начала с работой первой бригады.
13 рабочих за день выполняют 13хV единиц работы, а за 7 дней 13хVх7 единиц работы.
Через 7 дней рабочих в первой бригаде стало 13+4 и они за оставшиеся t-7 дней выполнили (13+4)хVх(t-7) единиц работы. По условию выполнена вся работа.
Получаем фразу нашего перевода о первой бригаде:
Разберёмся со второй бригадой.
14 рабочих за день выполняют 14хV единиц работы, а за 7 дней 14хVх7 единиц работы. Через 7 дней рабочих в первой бригаде стало 14-4, и они за оставшиеся t-7 дней выполнили (14-4)хVх(t-7) единиц работы. И тут по условию выполнена вся работа.
Получаем фразу нашего перевода о второй бригаде:
«Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов».
Эту фразу мы учли при обозначении времени.
Текст задачи закончен. Закончен и перевод. Получилось две фразы на математическом языке.
Поскольку обе фразы составляют текст одной задачи, они должны быть справедливы одновременно. На языке математики это означает, что полученные два уравнения надо объединить в систему уравнений.
Получаем:
Немного упростим:
И ещё немного упростим:
Продолжаем упрощать:
Возьмем А из первого уравнения и подставим во второе.
Опять же для упрощения выражения поделим обе части на V. Поскольку квалифицированный рабочий в любом случае что-то делает, V≠0, делить можно.
Прибавим к обеим частям, например, 28-10t.
Поделим обе части на 7 и прочтём справа налево.
Теперь запишем ответ:
«Ответ: 8 дней».
Разумеется, эту задачу можно решить гораздо быстрее и даже устно. Да и систему можно решить короче. Но для этого надо обладать определёнными способностями и навыками. Практика показывает, что даже при наличии способностей редкий 11-классник имеет соответствующие навыки.
Приведённый подход позволяет полностью отказаться от фразы «нетрудно заметить, что…» И нет никакой необходимости делить задачи на типы и запоминать множество алгоритмов их решения. При этом всегда понятно, с чего начинать запись решения.
По сути, множество разных алгоритмов заменяется одним:
1) прочёл,
2) понял, о чём речь,
3) перевёл на язык математики,
4) записал ответ.
Задача как бы решает себя сама. Ведь решение задачи, не предполагающей научного исследования, обязательно должно содержаться в тексте задачи.
Больше просто негде.
Если статья показалась полезной, ставьте 👍 и присоединяйтесь к нам, чтобы не пропускать новые публикации об образовании
Опубликовано ЦСО "Хочу Учиться" школьная аттестация онлайн
Автор: Владимир Тер-Григорян, математик, физик, репетитор, автор бесплатных и платных книг по подготовке к экзаменам по математике, отработал в школе почти 30 лет, считает семейную форму образования единственно возможной на сегодняшний день.
Читайте другие статьи автора:
Как научить ребёнка видеть решение прямо в тексте задачи? За 43 года преподавания узнал ответ
Для чего нужны оценки? Не поставил ни одной за 22 года работы в школе
Математика в школе: что надо знать, чтобы не учить правила
Читайте статьи других авторов:
Зачем школы обидели черчение? Подскажем, где взять советские учебники по черчению
